Série d’exercices

Calculer (sans calculatrice) en utilisant les formules d’addition :

1. \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

2. \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\).

3. \(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\).

4. \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\).

Calculer en utilisant les angles associés :

1. \(\cos\!\left(\dfrac{15\pi}{4}\right)\), \(\sin\!\left(-\dfrac{19\pi}{6}\right)\), \(\tan\!\left(\dfrac{17\pi}{3}\right)\).

2. Simplifier \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \sin(\pi - x)\).

3. Exprimer \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)\) en fonction de \(\sin x\).

Démontrer les identités suivantes pour tout réel \(x\) (sauf restriction sur \(\cos x\) ou \(\sin x\) si nécessaire).

1. \(\cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x\).

2. \(\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x\).

3. \(\tan x + \cot x = \dfrac{2}{\sin(2x)}\) (pour \(\sin x \cos x \neq 0\)).

4. \(\dfrac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = \tan x\) (pour \(\sin x \cos x \neq 0\)).

5. \(\dfrac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan x\) (pour \(\cos x \neq 0\)).

1. Démontrer que \(\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(a-b) + \cos(a+b)\bigr]\).

2. Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

3. Calculer \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

4. Démontrer que \(\cos a + \cos\!\left(a + \dfrac{2\pi}{3}\right) + \cos\!\left(a - \dfrac{2\pi}{3}\right) = 0\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \([0, 2\pi[\) :

1. \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

2. \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\).

3. \(\tan x = -1\).

4. \(2 \cos x + 1 = 0\).

5. \(\sin(2x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

6. \(\cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \([0, 2\pi[\) :

1. \(2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0\).

2. \(2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0\).

3. \(\cos(2x) + 3 \cos x + 2 = 0\).

4. \(\sin(2x) = \sin x\).

5. \(\cos(2x) = 1 - 2 \sin x\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \([0, 2\pi[\) :

1. \(\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1\).

2. \(\cos x - \sin x = \sqrt{2}\).

3. \(\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1\).

4. \(\cos x + \sin x = -1\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\sin x = \cos x\).

2. \(\sin(3x) = \sin x\).

3. \(\cos(2x) + \cos x = 0\).

4. \(\sin x + \sin(2x) + \sin(3x) = 0\).

Résoudre dans \([0, 2\pi[\) (et représenter sur le cercle) :

1. \(\cos x \geq \dfrac{1}{2}\).

2. \(\sin x \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

3. \(\tan x \leq 1\).

4. \(2 \cos x - \sqrt{3} > 0\).

5. \(\sin x > \cos x\).

Résoudre dans \([0, 2\pi[\) :

1. \(\sin(2x) \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

2. \(\cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) \leq \dfrac{1}{2}\).

3. \(\cos x + \sin x \geq 1\).

Soit \(f(x) = \cos^4 x + \sin^4 x\).

1. Montrer que \(f(x) = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

2. En déduire que \(f(x) = 1 - \dfrac{1}{2} \sin^2(2x) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \cos(4x)\).

3. Déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), et les valeurs de \(x\) correspondantes.

Soit \(g(x) = \sin x + \cos x\).

1. Montrer que \(g(x) = \sqrt{2} \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\).

2. Déterminer la période, le maximum, le minimum de \(g\).

3. Résoudre \(g(x) = 1\), \(g(x) > 0\), \(g(x) = -\sqrt{2}\) dans \([0, 2\pi[\).