Calcul trigonométrique
Table des matières
Formules d’addition, de duplication et de linéarisation
Proposition
Soient \(a, b, x \in \mathbb{R}\).
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Addition.
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\(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
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\(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)
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\(\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)
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\(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
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Pour la tangente, sous réserve d’existence :
\[\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}, \qquad \tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}.\] -
Duplication.
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\(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\)
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\(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\)
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\(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a\)
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\(\sin(2a) = 2 \sin a \cos a\)
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Linéarisation.
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\(\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}\)
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\(\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}\)
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Exemple
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Sachant que \(\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\), calculer \(\cos\dfrac{5\pi}{12}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{12}\), \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\).
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Sachant que \(\dfrac{\pi}{4} = 2 \times \dfrac{\pi}{8}\), calculer \(\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\sin\dfrac{\pi}{8}\) et \(\tan\dfrac{\pi}{8}\).
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Soit \(x\) un réel tel que \(x \neq k\pi\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\). Montrer que \(\dfrac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\).
Application
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Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 < a < \dfrac{\pi}{2}\), \(0 < b < \dfrac{\pi}{2}\) et \(\sin a = \cos b = \dfrac{1}{3}\). Déterminer \(a+b\).
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Soit \(x\) un réel tel que \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) et \(x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\). Simplifier l’expression \(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) \times \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right)\).
Transformations produit-somme et somme-produit
Proposition
Soient \(a, b, x, y\) des réels.
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Produit en somme.
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\(\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]\)
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\(\cos a \sin b = \dfrac{1}{2}[\sin(a+b) - \sin(a-b)]\)
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\(\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]\)
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\(\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]\)
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Somme en produit (en posant \(a = \dfrac{x+y}{2}\), \(b = \dfrac{x-y}{2}\)).
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\(\sin x + \sin y = 2 \sin\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\)
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\(\sin x - \sin y = 2 \cos\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\)
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\(\cos x + \cos y = 2 \cos\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\)
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\(\cos x - \cos y = -2 \sin\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \sin\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\)
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Exemple
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Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) et \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).
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Soit \(x\) un réel. Montrer que \(\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) \sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \cos(2x) - \dfrac{1}{4}\).
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Montrer que \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
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Soit \(x\) un réel. Montrer que \(\cos(6x) - \cos(2x) = -4 \sin^2(2x) \cos(2x)\).
Application
Soit \(A = \dfrac{\cos\dfrac{\pi}{12} + \sin\dfrac{\pi}{12}}{\cos\dfrac{\pi}{12} - \sin\dfrac{\pi}{12}}\).
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Montrer que \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sqrt{2} \sin\dfrac{\pi}{3}\) et \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) - \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sqrt{2} \sin\dfrac{\pi}{6}\).
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En déduire la valeur de \(A\).
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Montrer que \(A = \dfrac{1 + \tan\dfrac{\pi}{12}}{1 - \tan\dfrac{\pi}{12}}\), puis en déduire \(\tan\dfrac{\pi}{12}\).
Transformation de \(a\cos x + b\sin x\)
Proposition
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \((a, b) \neq (0, 0)\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[a \cos x + b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x - \alpha),\]
où \(\alpha\) est l’unique réel (modulo \(2\pi\)) vérifiant \(\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) et \(\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
Exemple
Écrire sous la forme \(r \cos(x - \alpha)\) les expressions suivantes :
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\(A(x) = \cos x + \sin x\)
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\(B(x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x\)
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\(C(x) = \sqrt{3} \cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\)
Application
Écrire \(D(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x\) sous la forme \(r \cos(x - \alpha)\), puis déterminer la valeur maximale et la valeur minimale de \(D(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
Équations et inéquations trigonométriques
Proposition
Soient \(x, \alpha \in \mathbb{R}\).
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\(\cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{Z}):\ x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\).
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\(\sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{Z}):\ x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\).
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\(\tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{Z}):\ x = \alpha + k\pi\).
Exemple
Résoudre dans l’intervalle \(I\) les équations et inéquations suivantes :
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\(2 \cos x - \sqrt{3} = 0\) sur \(I = [-\pi, 2\pi]\).
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\(\sqrt{2} \sin x + 1 = 0\) sur \(I = [0, 2\pi]\).
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\(\tan x = \sqrt{3}\) sur \(I = [-\pi, \pi]\).
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\(\sqrt{3} \cos x - \sin x = \sqrt{2}\) sur \(I = [-\pi, \pi]\).
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\(\sqrt{3} \cos x - \sin x > \sqrt{2}\) sur \(I = \left[-\pi, \dfrac{\pi}{2}\right]\).
Application
Soit \(x \in \mathbb{R}\). On pose \(A(x) = 2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin(2x) - \sqrt{3} \sin x + \cos x\).
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Calculer \(A\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(A\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).
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Montrer que \(A(x) = 2 \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) (1 - 2\sin x)\).
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Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(]0, 2\pi]\), l’équation \(A(x) = 0\).
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Résoudre dans \(]0, 2\pi]\) l’inéquation \(A(x) > 0\).