Série d’exercices

Calculer les valeurs exactes suivantes en utilisant les formules d’addition :

1. \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\).

2. \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).

3. \(\cos\dfrac{11\pi}{12}\).

4. \(\sin\dfrac{11\pi}{12}\).

Soient \(a, b\) deux réels tels que \(0 < a < \dfrac{\pi}{2}\), \(0 < b < \dfrac{\pi}{2}\) avec \(\cos a = \dfrac{4}{5}\) et \(\sin b = \dfrac{12}{13}\).

Calculer \(\sin a\), \(\cos b\), puis \(\sin(a+b)\), \(\cos(a+b)\), \(\sin(a-b)\) et \(\cos(a-b)\).

Démontrer les identités suivantes pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

1. \(\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x\).

2. \(\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x\).

3. \(1 + \cos x = 2\cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\).

Soit \(x\) un réel. Linéariser les expressions suivantes :

1. \(\cos^2 x \cdot \sin x\).

2. \(\sin^2 x \cdot \cos^2 x\).

3. \(\cos^4 x\).

Transformer les sommes suivantes en produits :

1. \(\sin(3x) + \sin x\).

2. \(\cos(5x) - \cos(3x)\).

3. \(\sin\dfrac{7\pi}{12} - \sin\dfrac{\pi}{12}\).

4. \(\cos\dfrac{5\pi}{12} + \cos\dfrac{\pi}{12}\).

Pour chaque expression, l’écrire sous la forme \(r\cos(x - \alpha)\) avec \(r > 0\) et \(\alpha \in [-\pi, \pi]\) :

1. \(A(x) = \cos x - \sin x\).

2. \(B(x) = \sqrt{3}\cos x + \sin x\).

3. \(C(x) = -\cos x + \sqrt{3}\sin x\).

4. \(D(x) = 2\cos(2x) + 2\sqrt{3}\sin(2x)\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \([0, 2\pi]\), les équations suivantes :

1. \(2\cos x - 1 = 0\).

2. \(2\sin x + \sqrt{3} = 0\).

3. \(\tan x = -1\).

4. \(\cos(2x) = \dfrac{1}{2}\).

Résoudre dans \([0, 2\pi]\) les inéquations suivantes :

1. \(2\cos x \ge 1\).

2. \(\sqrt{2}\sin x < 1\).

3. \(\cos x + \sqrt{3}\sin x \ge \sqrt{2}\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sin x + \cos x\).

1. Écrire \(f(x)\) sous la forme \(r\sin(x + \alpha)\).

2. Déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Préciser les valeurs de \(x\) correspondantes.

3. Résoudre l’équation \(f(x) = 1\) dans \([0, 2\pi]\).

Soit \(f(x) = \cos(2x) - 2\sin x\).

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = -2\sin^2 x - 2\sin x + 1\).

2. En posant \(X = \sin x\), résoudre l’équation \(f(x) = 0\) dans \([0, 2\pi]\).

Soit \(a\) un réel tel que \(a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

1. Démontrer que \(\tan(2a) = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}\) (sous condition d’existence).

2. En déduire la valeur de \(\tan\dfrac{\pi}{8}\).

On pose \(A = \cos\dfrac{\pi}{7} \cdot \cos\dfrac{2\pi}{7} \cdot \cos\dfrac{4\pi}{7}\).

1. Calculer \(\sin\dfrac{\pi}{7} \cdot A\) en utilisant la formule \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\).

2. En déduire la valeur exacte de \(A\).