Série d’exercices

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x + \sqrt{x^2 + 2x}}{x}\)

2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x + 1} - x\)

3. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{4x^2 + 1} + x\)

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x + \sin(2x)}{2x + \sin(x)}\)

5. \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 2x - 3}{3 - x}\)

6. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x}\)

7. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt[3]{27x^3 + x + 1}}{\sqrt[4]{16x^4 + 1}}\)

8. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}(\sqrt{x} - 1)^2\)

1. Classer par ordre croissant : \(\sqrt[3]{4}\), \(3^{1/4}\), \(\sqrt{2}\).

2. On pose \(A = \dfrac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{32}}{2\,\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\). Montrer que \(A = 1\).

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

   1. \((2 - x)^3 = 27\)

   2. \(x^8 + 2x^4 - 3 = 0\)

   3. \(\sqrt[3]{x + 1} < 1\)

   4. \(1 - x^3 > 0\)

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)\).

2. Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau.

3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = 0\).

4. Déterminer \(f([-1\,;1])\) et \(f(\,]-1\,;+\infty[\,)\).

5. Montrer que l’équation \(f(x) = -2\) admet une unique solution \(\alpha \in\,]-\infty\,;-1[\), puis vérifier que \(-3 < \alpha < -1\).

6. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}5\) par dichotomie.

Soit \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} u(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} u(x)\).

2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(u'(x) = 3\!\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \dfrac{8}{3}\), puis dresser le tableau de variations.

3. En déduire que l’équation \(u(x) = 0\) admet une et une seule solution \(\alpha \in \mathbb{R}\).

4. Vérifier que \(-1 < \alpha < 0\).

5. Par dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(\dfrac{1}{8}\).

6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \((x + 1)\,u(x) > 0\).

Soit \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{2 + \sin x}\).

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) \geq \dfrac{x^2 + 3}{3}\).

2. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{x}\).

3. Interpréter géométriquement le résultat de la question 2.

Soit \(f\) définie sur \(I = ]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2}\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).

2. Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

3. En déduire \(f(I)\).

4. Justifier que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à préciser.

5. Calculer \(f^{-1}(2)\).

6. Déterminer l’expression de \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\).

Soit \(f\) définie sur \(I = [1\,;+\infty[\) par \(f(x) = 2x - 4\sqrt{x} + 1\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).

2. Montrer que pour tout \(x \in I\), \(f'(x) = \dfrac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}}\). En déduire la monotonie de \(f\).

3. Justifier que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) sur un intervalle \(K\) à déterminer.

4. Pour tout \(x \in K\), déterminer \(f^{-1}(x)\).

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x}}{x^2 + x - 2}\).

1. Résoudre \(x^2 + x - 2 = 0\) et en déduire \(D_f = [0\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[\).

2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f(x) = \dfrac{-1}{(x + 2)(1 + \sqrt{x})}\).

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\).

4. Soit \(g\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par :
   \[g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in\,]1\,;+\infty[ \\ 2mx + \dfrac{5}{6} & \text{si } x \in [0\,;1] \end{cases}, \quad m \in \mathbb{R}^*.\]

   1. Montrer que \(g\) est continue sur \(]1\,;+\infty[\).

   2. Déterminer \(m\) pour que \(g\) soit continue en \(1\).

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{2\sqrt{x} - 2}{x^2 - 3x + 2}\).

1. Résoudre \(x^2 - 3x + 2 = 0\) et en déduire \(D_f\).

2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f(x) = \dfrac{2}{(\sqrt{x} + 1)(x - 2)}\).

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\).

4. Calculer \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\).

5. Soit \(g\) définie par \(g(x) = f(x)\) si \(x \in D_f\) et \(g(1) = -1\). Montrer que \(g\) est continue en \(1\).

Soit \(g\) définie sur \(I = [0\,;+\infty[\) par \(g(x) = x + 2\sqrt{x}\).

1. Montrer que \(g\) est continue et strictement croissante sur \(I\).

2. En déduire que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) définie sur \(I\).

3. Vérifier que \(g^{-1}(0) = 0\).

4. Montrer que pour tout \(x \in I\), \(g^{-1}(x) = (\sqrt{x + 1} - 1)^2\).

5. Résoudre dans \(I\) l’équation \(g^{-1}(x) = g(x)\).