Table des matières
Continuité en un point
Activité
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1, \\ 2 & \text{si } x = 1. \end{cases}\]
Calculer \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\) puis comparer avec \(f(1)\).
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(x_0 \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(x_0\) si :
\[\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]
Exemple
« Continuité par calcul de limite. »
Soit \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x \sin x\) si \(x \neq 0\) et \(h(0) = 0\). Étudier la continuité de \(h\) en \(0\).
Solution. \(\lim\limits_{x \to 0} x\sin x = 0 = h(0)\), donc \(h\) est continue en \(0\).
Continuité à droite et à gauche
Définition
-
\(f\) est continue à droite en \(x_0\) si \(\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\).
-
\(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\).
Proposition
Soit \(f\) définie sur un voisinage de \(x_0\).
\[f \text{ continue en } x_0 \;\Longleftrightarrow\; \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).\]
Exemple
« Recouvrement à gauche / à droite. »
Soit \(f(x) = x^2\) si \(x \leq 0\) et \(f(x) = 2 + x\) si \(x > 0\). Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).
Solution. À gauche : \(\lim\limits_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)\), donc \(f\) est continue à gauche en \(0\). À droite : \(\lim\limits_{x \to 0^+} (2 + x) = 2 \neq f(0)\), donc \(f\) n’est pas continue à droite en \(0\). Conclusion : \(f\) n’est pas continue en \(0\).
Application
Soit \(f(x) = \dfrac{2x+1}{7-3x}\) si \(x \leq 2\) et \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}\) si \(x > 2\).
-
Étudier la continuité de \(f\) en \(2\) à gauche, à droite.
-
Conclusion : \(f\) est-elle continue en \(2\) ?
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = a\). Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).
-
Soient \(a, b \in \mathbb{R}^*\) et \(h\) définie par : \(h(x) = ax + 5b - a\) si \(x > 0\) ; \(h(x) = \dfrac{\sin(ax)}{bx}\) si \(x < 0\) ; \(h(0) = 4\). Déterminer \(a, b\) pour que \(h\) soit continue en \(0\).
-
Soit \(f(x) = \dfrac{\cos(x) - x\sin(3x) - 1}{x^2}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = -\dfrac{7}{2}\). Démontrer la continuité de \(f\) en \(0\).
Continuité sur un intervalle
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
-
\(f\) est continue sur l’intervalle ouvert \(]a;b[\) si elle est continue en tout point de \(]a;b[\).
-
\(f\) est continue sur \([a;b[\) si elle est continue sur \(]a;b[\) et continue à droite en \(a\).
-
Définitions analogues pour \(]a;b]\), \([a;b]\), \(]a;+\infty[\), \([a;+\infty[\), \(]-\infty;b[\), \(]-\infty;b]\).
Remarque
Géométriquement, si \(f\) est continue sur \([a;b]\), on peut tracer la courbe \((\mathcal{C}_f)\) d’un seul trait, sans lever le crayon.
Continuité des fonctions usuelles
Proposition
-
Toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).
-
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.
-
\(x \mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
-
\(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\).
-
\(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
-
\(x \mapsto \tan x\) est continue sur chaque intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi\,;\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Opérations sur les fonctions continues
Proposition
Soient \(f\) et \(g\) continues sur un intervalle \(I\), et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
-
\(f + g\), \(fg\) et \(\alpha f\) sont continues sur \(I\).
-
Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{1}{g}\) et \(\dfrac{f}{g}\) sont continues sur \(I\).
-
Si \(f\) est continue et positive sur \(I\), alors \(\sqrt{f}\) est continue sur \(I\).
Proposition
Soient \(f\) continue sur \(I\) et \(g\) continue sur \(J\) avec \(f(I) \subset J\). Alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\).
Exemple
« Identification de la continuité. »
Étudier la continuité de \(f(x) = \cos(x^2 + 4x)\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution. \(u(x) = x^2 + 4x\) est polynômiale donc continue sur \(\mathbb{R}\). \(v(x) = \cos x\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Donc \(f = v \circ u\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Application
Étudier la continuité des fonctions sur l’intervalle indiqué :
-
\(f_1(x) = x + \sqrt{x}\), \(I = [0;+\infty[\)
-
\(f_2(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 4} - \sin x\), \(I = \mathbb{R}\)
-
\(f_3(x) = \tan x\), \(I = \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)
-
\(f_4(x) = \sin\!\left(\dfrac{x^2 - 1}{x}\right)\), \(I = \mathbb{R}^*\)
À faire à la maison
Soit \(f\) définie sur \([0;1]\) par \(f(x) = 3x^2 - x - \dfrac{1}{4}\) si \(x \in [0;\tfrac{1}{2}[\) et \(f(x) = 1 - \dfrac{7}{6x+4}\) si \(x \in [\tfrac{1}{2};1]\).
-
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]0\,;\dfrac{1}{2}\right[\) et sur \(\left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[\).
-
Étudier la continuité de \(f\) en \(\dfrac{1}{2}\).
-
Conclure que \(f\) est continue sur \([0;1]\).
-
Déterminer les bornes de \(f\) sur \([0;1]\).
Image d’un intervalle par une fonction continue
Proposition
-
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle.
-
Si \(f\) est continue sur un segment \([a;b]\), alors \(f([a;b]) = [m;M]\), où \(m\) et \(M\) sont les valeurs minimale et maximale de \(f\) sur \([a;b]\).
Cas d’une fonction continue strictement monotone
Si \(f\) est strictement croissante :
| \(I\) | \(f(I)\) |
|---|---|
| \([a\,;b]\) | \([\,f(a)\,;f(b)\,]\) |
| \([a\,;b[\) | \([\,f(a)\,;\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,[\) |
| \(]a\,;b]\) | \(]\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,;f(b)\,]\) |
| \(]a\,;+\infty[\) | \(]\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,;\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\,[\) |
Si \(f\) est strictement décroissante :
| \(I\) | \(f(I)\) |
|---|---|
| \([a\,;b]\) | \([\,f(b)\,;f(a)\,]\) |
| \([a\,;b[\) | \(]\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,;f(a)\,]\) |
| \(]a\,;b]\) | \([\,f(b)\,;\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,[\) |
| \(]-\infty\,;b[\) | \(]\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\,[\) |
Exemple
« Détermination de \(f(I)\). »
Soit \(f(x) = x^2\) sur \(I = [1;+\infty[\). Déterminer \(f(I)\).
Solution. \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1;+\infty[\). Donc \(f(I) = [\,f(1)\,;\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\,[ = [1;+\infty[\).
Application
Déterminer \(f(I)\) dans chaque cas :
-
\(f(x) = \tan x\), \(I = \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)
-
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}\), \(I = [0;1[\)
-
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x - 3}\), \(I = ]-\infty;-1[\)
-
\(f(x) = \dfrac{3x + 4}{2x + 1}\), \(I = \left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right[\)
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Étudier la monotonie de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) et sur \(\mathbb{R}_-\).
-
Déterminer \(f(\mathbb{R}_+)\) et \(f(\mathbb{R}_-)\).
-
En déduire \(f(\mathbb{R})\).
-
-
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer le domaine, étudier les variations et calculer \(f(\mathbb{R})\).
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(\alpha \in [a;b]\) tel que \(f(\alpha) = k\).
Conséquence
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).
Conséquence
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\) avec \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \(]a;b[\).
Exemple
« Existence et unicité d’une racine. »
Montrer que l’équation \(x^4 + x^2 + 4x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0;1]\).
Solution. Soit \(f(x) = x^4 + x^2 + 4x - 1\). \(f\) est polynômiale donc continue sur \([0;1]\). \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 + 1 + 4 - 1 = 5 > 0\), donc \(f(0) \cdot f(1) < 0\). D’après le TVI, \(f\) s’annule au moins une fois sur \(]0;1[\).
Application
-
Montrer que \(2\cos x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0;\pi]\).
-
Montrer que \(\cos x + \dfrac{1}{2} = x\) admet une unique solution dans \(\left]0;\dfrac{\pi}{3}\right[\).
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
-
Démontrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}1\).
-
-
Soit \(g(x) = \cos(x) - x\) sur \([0;1]\). Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur \(]0;1[\), et donner un encadrement à \(0{,}01\) près.
Méthode de la dichotomie
La dichotomie est une méthode de recherche d’une valeur approchée d’une racine d’équation. Elle s’appuie sur la conséquence du TVI : si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors une racine existe dans \(]a;b[\).
Définition
Procédure. Soit \(f\) continue sur \([a;b]\) avec \(f(a) \cdot f(b) < 0\).
-
Calculer \(c = \dfrac{a+b}{2}\).
-
-
Si \(f(a) \cdot f(c) < 0\), la racine est dans \([a\,;c]\) : remplacer \(b\) par \(c\).
-
Sinon, la racine est dans \([c\,;b]\) : remplacer \(a\) par \(c\).
-
-
Recommencer jusqu’à atteindre la précision souhaitée. À chaque itération, l’amplitude est divisée par \(2\).
Exemple
« Approximation de \(\sqrt{3}\) à \(10^{-2}\) près. »
Soit \(f(x) = x^2 - 3\). On sait que \(\sqrt{3} \in [1;2]\).
Solution.
-
Étape 1 : \(c = \dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2}\). \(f(1) \cdot f(\tfrac{3}{2}) = (-2)(-\tfrac{3}{4}) > 0\), donc \(\sqrt{3} \in \left[\tfrac{3}{2}\,;2\right]\).
-
Étape 2 : \(c = \dfrac{7}{4}\). \(f(\tfrac{3}{2}) \cdot f(\tfrac{7}{4}) < 0\), donc \(\sqrt{3} \in \left[\tfrac{3}{2}\,;\tfrac{7}{4}\right]\).
-
En continuant, on obtient \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) à \(10^{-2}\) près.
Application
Approximer la solution de l’équation \(f(x) = 0\) :
-
\(f(x) = x^2 - 10\), \(I = [3;4]\), à \(10^{-3}\) près.
-
\(f(x) = x^3 + x^2 - x + 1\), \(I = [-2;0]\), à \(10^{-2}\) près.
À faire à la maison
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
-
Démontrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [1;2]\).
-
Appliquer la méthode de dichotomie pour donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(\dfrac{1}{16}\) (c.-à-d. après \(4\) itérations).
Fonction réciproque
Théorème
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J = f(I)\), telle que :
\[\begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} y = f^{-1}(x) \\ x \in J \end{cases}\]
Proposition
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\), \(f^{-1}\) sa réciproque sur \(J = f(I)\).
-
\(\forall x \in I\), \(f^{-1}(f(x)) = x\).
-
\(\forall y \in J\), \(f(f^{-1}(y)) = y\).
-
\(f^{-1}\) est continue et strictement monotone sur \(J\), de même monotonie que \(f\).
-
Les courbes \((\mathcal{C}_f)\) et \((\mathcal{C}_{f^{-1}})\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
Exemple
« Construction d’une fonction réciproque. »
Soit \(f(x) = \sqrt{2x - 1}\) sur \(I = \left[\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque, déterminer son expression.
Solution. \(f\) est composée de fonctions continues, donc continue sur \(I\). Elle est strictement croissante (la fonction sous racine l’est, et \(\sqrt{\cdot}\) aussi). Donc \(f\) admet une réciproque sur \(J = f(I) = [0;+\infty[\).
Pour \(y \in J\) : \(f(x) = y \Longleftrightarrow \sqrt{2x-1} = y \Longleftrightarrow 2x - 1 = y^2 \Longleftrightarrow x = \dfrac{y^2 + 1}{2}\). Donc \(f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2}\) pour \(x \in [0;+\infty[\).
Application
Soit \(g(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2}\).
-
Montrer que \(g\) est continue et strictement monotone sur \(]-2;+\infty[\).
-
Déterminer \(J = g(]-2;+\infty[)\) et l’expression de \(g^{-1}\).
À faire à la maison
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^2}\) sur \([0;+\infty[\).
-
Montrer que \(h\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
-
Déterminer \(J = h([0;+\infty[)\).
-
Justifier l’existence d’une réciproque \(h^{-1} : J \to [0;+\infty[\).
-
Pour \(y \in J\), exprimer \(h^{-1}(y)\) en fonction de \(y\).
-
Déterminer la monotonie de \(h^{-1}\).
Fonction racine \(n\)-ième
Théorème
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). La fonction \(x \mapsto x^n\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\). Elle admet donc une fonction réciproque appelée racine \(n\)-ième, notée \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\), définie sur \([0;+\infty[\).
Ainsi, pour tout \(x, y \in [0;+\infty[\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[y = x^n \;\Longleftrightarrow\; x = \sqrt[n]{y}.\]
Exemple
\(\sqrt[3]{8} = 2\),\(\sqrt[3]{27} = 3\),\(\sqrt[4]{16} = 2\).
Proposition
Soient \(a, b \in [0;+\infty[\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\).
-
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
-
\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) (\(b \neq 0\))
-
\(\sqrt[nm]{a^m} = \sqrt[n]{a}\)
-
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}\)
-
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[nm]{a^{n+m}}\)
-
\(\sqrt[n]{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{b}}\) (\(b \neq 0\))
Conséquence
Pour tout \(x, y \in [0;+\infty[\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
-
\(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x = y\).
-
\(\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x < y\).
Exemple
« Comparaison de racines. »
Comparer \(\sqrt[7]{3}\) et \(\sqrt[5]{2}\).
Solution. Élevons à la puissance \(35\) : \((\sqrt[7]{3})^{35} = 3^5 = 243\) et \((\sqrt[5]{2})^{35} = 2^7 = 128\). Comme \(243 > 128\), \(\sqrt[7]{3} > \sqrt[5]{2}\).
Limites avec la racine \(n\)-ième
Proposition
Soit \(f\) une fonction positive sur un intervalle \(I\), et \(x_0 \in I\) ou borne de \(I\), \(n \in \mathbb{N}^*\).
-
Si \(f\) est continue sur \(I\), alors \(\sqrt[n]{f}\) est continue sur \(I\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \geq 0\), alors \(\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\ell}\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = +\infty\).
Application
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \sqrt[3]{x^2 + 27}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[5]{x^3 - x + 3}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}\)
À faire à la maison
-
Simplifier :
-
\(A = \dfrac{\sqrt[3]{1024} \times \sqrt[5]{3200000}}{\sqrt[4]{64} \times \sqrt[3]{\sqrt{256}} \times \sqrt{2}}\)
-
\(B = \sqrt[5]{32} - (\sqrt[7]{2})^7 + \sqrt[3]{\sqrt[3]{512}} + \dfrac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}\)
-
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : (a) \(\sqrt[3]{x} - x = 0\) ;(b) \(\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0\).
-
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - x\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{x+1} - 1}\)
-
Puissance rationnelle d’un réel strictement positif
Définition
Soit \(x > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}^*\). On définit :
\[x^{p/q} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p = \sqrt[q]{x^p}.\]
Proposition
Soient \(a, b > 0\) et \(r, r' \in \mathbb{Q}\).
-
\(a^r \cdot a^{r'} = a^{r + r'}\)
-
\((a^r)^{r'} = a^{r r'}\)
-
\(\dfrac{a^r}{a^{r'}} = a^{r - r'}\)
-
\(a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}\)
-
\(\dfrac{a^r}{b^r} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^r\)
-
\(a^r \cdot b^r = (ab)^r\)
Proposition
Soit \(r \in \mathbb{Q}^*\).
-
Si \(r > 0\) : \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^r = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^r = +\infty\).
-
Si \(r < 0\) : \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^r = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^r = 0\).
Exemple
« Calcul d’une puissance rationnelle. »
Calculer \(1728^{2/3}\).
Solution. \(1728 = 12^3\), donc \(1728^{2/3} = (12^3)^{2/3} = 12^2 = 144\).
Application
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^5 + 2x^3 - x + 4}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{2x+6} - \sqrt{x+3}}{x - 1}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2 - 2}}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt[4]{x^2 - 1}}{\sqrt{x - 1}}\)
À faire à la maison
-
Simplifier : (a) \(\dfrac{16^{1/2} \cdot 8^{2/3}}{4^{1/2}}\) ;(b) \((2^{1/4})^{12} \cdot (8^{1/3})^{-2}\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}_+^*\) : (a) \(x^{2/3} = 4\) ;(b) \(x^{3/4} - 8 = 0\).
-
Calculer la limite : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2/3} + x^{1/2}}{x^{1/3} + 1}\).