Dérivation
Table des matières
Dérivabilité d’une fonction en un point
Nombre dérivé
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a \in I\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) s’il existe un réel \(L\) tel que :
\[\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L\]
Le réel \(L\) est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\).
Exemple
Soit \(f(x)=x^2\) et \(a=1\). Pour \(x \neq 1\) :
\[\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1\]
Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2\). Ainsi \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=2\).
Application
Montrer que \(f\) est dérivable en \(a\) et déterminer \(f'(a)\) :
-
\(f(x)=x^2 \;;\; a=\sqrt{2}\)
-
\(f(x)=x^3 \;;\; a=1\)
Tangente à la courbe représentative
Définition
Soit \(f\) dérivable en \(a \in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point \(A(a\,;\,f(a))\) est la droite de coefficient directeur \(f'(a)\). Son équation est :
\[(T) :\quad y = f'(a)(x-a)+f(a)\]
Exemple
Soit \(f(x)=x^2\), \(a=1\) : \(f'(1)=2\) et \(f(1)=1\).
L’équation de la tangente en \(A(1\,;\,1)\) est :
\[(T) : y = 2(x-1)+1 = 2x-1\]
Application
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=1-x^2\). Déterminer une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
Dérivabilité à droite et à gauche
Définition
-
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si :
\[\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L \in \mathbb{R}\]
On note ce réel \(f'_d(a)\). -
\(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si :
\[\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L \in \mathbb{R}\]
On note ce réel \(f'_g(a)\).
Proposition
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en \(a\), et \(f'_d(a) = f'_g(a)\).
Exemple
Soit \(f(x)=|x|\), \(a=0\). Pour \(x>0\), \(|x|=x\), donc :
\[f'_d(0) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}}\dfrac{x}{x} = 1\]
Pour \(x<0\), \(|x|=-x\), donc :
\[f'_g(0) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}}\dfrac{-x}{x} = -1\]
Comme \(f'_d(0) \neq f'_g(0)\), \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
Application
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 0 \\ -x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}\]
Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
Approximation affine locale
Définition
Soit \(f\) dérivable en \(a \in I\). La fonction \(x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)\) est appelée fonction affine tangente de \(f\) en \(a\). Une approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) est donnée par :
\[f(x) \approx f'(a)(x-a)+f(a)\]
Exemple
Soit \(f(x)=x^2\), \(a=1\). On a \(f'(1)=2\), donc au voisinage de \(1\) :
\[f(x) \approx 2(x-1)+1 = 2x-1\]
On en déduit : \((1{,}001)^2 \approx 2\times 1{,}001 - 1 = 1{,}002\).
Application
Soit \(f(x)=(x+1)^2\).
-
Montrer que \(f\) est dérivable en \(a=0\) et en \(b=1\).
-
Expliciter les fonctions affines tangentes de \(f\) en \(a\) et en \(b\).
-
Donner une approximation affine de \((1{,}0004)^2\) et de \((2{,}00001)^2\).
Fonction dérivée — Opérations et formules
Fonction dérivée et dérivées usuelles
Définition
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est définie sur \(I\) par :
\[f' : x \longmapsto f'(x)\]
Remarque
| La fonction \(f\) | \(D_f\) | La fonction \(f'\) | \(D_{f'}\) |
|---|---|---|---|
| \(c\) (constante) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)\) | \(\mathbb{R}\) | \(n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan(x)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\) | \(1+\tan^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\) |
Opérations sur les fonctions dérivées
Proposition
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(I\) et \(k \in \mathbb{R}\). Alors :
-
\((u+v)' = u'+v'\)
-
\((k\,u)' = k\,u'\)
-
\((u \times v)' = u'v + uv'\)
-
Si \(v\) ne s’annule pas sur \(I\) : \(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}\) et \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Proposition
-
Toute fonction polynôme est dérivable en tout point de \(\mathbb{R}\).
-
Toute fonction rationnelle est dérivable en tout point de son ensemble de définition.
Exemple
Soit \(f(x) = x^2\sin(x)\). On pose \(u=x^2\), \(v=\sin(x)\) :
\[f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)\]
Application
Déterminer la dérivée de \(f\) :
-
\(f(x) = (2x-3)(x^2-5x)\)
-
\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\)
-
\(f(x) = x^3\cos(x)\)
Dérivée de fonctions composées
Proposition
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) et \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\). La fonction \(x \mapsto u(ax+b)\) est dérivable sur tout intervalle \(I\) tel que \(ax+b \in J\) pour tout \(x \in I\), et :
-
Si \(u > 0\) sur \(J\) : \(\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
-
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(\left(u^n\right)' = n\,u'\,u^{n-1}\)
-
\(\left(u(ax+b)\right)' = a\,u'(ax+b)\)
Remarque
| La fonction \(f\) | \(D_f\) | La fonction \(f'\) | \(D_{f'}\) |
|---|---|---|---|
| \(\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) | \(-a\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) | \(a\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\frac{\pi}{2}+k\pi-b}{a},k\in\mathbb{Z}\right\}\) | \(a\!\left(1+\tan^2(ax+b)\right)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\frac{\pi}{2}+k\pi-b}{a},k\in\mathbb{Z}\right\}\) |
Exemple
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\). On pose \(u = x^2+1 > 0\) sur \(\mathbb{R}\), donc :
\[f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\]
Application
Déterminer la dérivée de \(f\) :
-
\(f(x) = \sqrt{x^2+2}\)
-
\(f(x) = \left(x^2-3x+1\right)^4\)
-
\(f(x) = \cos(2x-3)\)
Dérivées successives
Définition
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\). On note \(f'' = (f')' = f^{(2)}\) la dérivée seconde de \(f\). Par itération, on définit la dérivée d’ordre \(n\) par :
\[f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'\]
Exemple
Soit \(f(x) = x^3 - 2x\) :
\[f'(x) = 3x^2-2 \qquad f''(x) = 6x \qquad f'''(x) = 6\]
Application
Déterminer les dérivées d’ordre 1, 2 et 3 :
-
\(f(x) = x^3+4x^2-6\)
-
\(f(x) = \cos(x)+\sin(x)\)
Applications de la dérivation
Sens de variation d’une fonction
Proposition
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
-
\(f' > 0\) sur \(I\) (sauf en un nombre fini de points) \(\Longleftrightarrow\) \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
-
\(f' < 0\) sur \(I\) (sauf en un nombre fini de points) \(\Longleftrightarrow\) \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
-
\(f' = 0\) sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f\) est constante sur \(I\).
Exemple
Soit \(f(x) = x^2-2x\) sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x) = 2x-2\).
-
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 1\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\).
-
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1\) : \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).
Application
Soit \(f(x) = (x-1)^3\).
-
Calculer \(f'(x)\).
-
Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Extremums d’une fonction
Proposition
Soit \(f\) dérivable sur \(I\) et \(\alpha \in I\).
-
Si \(f\) admet un extremum en \(\alpha\), alors \(f'(\alpha) = 0\).
-
Si \(f'(\alpha) = 0\) et \(f'\) change de signe en \(\alpha\) :
-
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local en \(\alpha\).
-
\(f'\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local en \(\alpha\).
-
Remarque
Si \(f'(\alpha) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe en \(\alpha\), alors \(f\) n’admet pas d’extremum en \(\alpha\) (point d’inflexion à tangente horizontale).
Exemple
Soit \(f(x) = -x^2+4x\). \(f'(x) = -2x+4\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\). \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(2\), donc \(f\) admet un maximum local en \(2\) : \(f(2) = 4\).
Application
Soit \(f(x) = 3x-x^3\).
-
Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Déterminer les éventuels extremums de \(f\) et préciser leur nature.
Équation différentielle \(y'' + \omega^2 y = 0\)
Définition
Soit \(\omega \in \mathbb{R}^*\). L’équation \(y'' + \omega^2 y = 0\), où \(y\) est une fonction inconnue de \(x\), est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
Toute fonction \(f\) vérifiant \(f''(x) + \omega^2 f(x) = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) est appelée solution de cette équation.
Proposition
L’ensemble des solutions de \(y'' + \omega^2 y = 0\) est l’ensemble des fonctions :
\[x \mapsto A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x) \qquad (A,\, B \in \mathbb{R})\]
Remarque
On peut aussi écrire la solution générale sous la forme \(x \mapsto A\cos(\omega x+B)\) ou \(x \mapsto A\sin(\omega x+B)\), avec \(A, B \in \mathbb{R}\).
Exemple
Résoudre \(y''+4y = 0\).
On identifie \(\omega^2 = 4\), donc on choisit \(\omega = 2 > 0\). La solution générale est :
\[y = A\cos(2x) + B\sin(2x), \quad A, B \in \mathbb{R}\]
Application
Résoudre les équations différentielles :
-
\(y''+9y = 0\)
-
\(\dfrac{d^2u(t)}{dt^2} + 2\,u(t) = 0\)