Série d’exercices

Pour chaque fonction, étudier la dérivabilité au point indiqué :

1. \(f(x) = x^2 + 3x\) en \(a = 1\).

2. \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(a = 4\).

3. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) en \(a = 2\).

4. \(f(x) = |x|\) en \(a = 0\).

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5\)

2. \(f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\)

3. \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\)

4. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\)

5. \(f(x) = \cos(3x + 1)\)

6. \(f(x) = (2x - 1)^5\)

7. \(f(x) = \dfrac{1}{(x^2 - 1)^3}\)

8. \(f(x) = \tan(2x)\)

9. \(f(x) = x^2 \sin x\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x + 2\).

1. Calculer \(f'(x)\).

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).

3. Donner les coordonnées des extremums locaux de \(f\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).

1. Calculer \(f'(x)\).

2. Dresser le tableau de variations de \(f\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

1. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\).

2. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((T)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).

1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\).

2. Étudier la monotonie de \(f\).

3. Calculer \(f''(x)\) et étudier la convexité de \(f\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos x + \sin x\).

1. Calculer \(f'(x)\), \(f''(x)\) et \(f^{(3)}(x)\).

2. Vérifier que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'' + y = 0\).

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. \(y'' + 16 y = 0\)

2. \(y'' + \dfrac{1}{4} y = 0\)

3. \(4 y'' + y = 0\)

4. \(y'' + 25 y = 0\)

Une boîte parallélépipédique sans couvercle a une base carrée de côté \(x\) et une hauteur \(h\) telles que le volume soit \(V = 32\,\text{cm}^3\).

1. Exprimer \(h\) en fonction de \(x\).

2. Montrer que la surface totale est \(S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}\).

3. Trouver \(x\) qui minimise \(S(x)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-1)^2 (x+2)\).

1. Développer \(f(x)\).

2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) et déterminer ses extremums locaux.

Soit \(f\) définie sur \(]0, +\infty[\) par \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\).

1. Calculer \(f'(x)\).

2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.

3. Montrer que \(f\) admet un minimum sur \(]0, +\infty[\) et donner sa valeur.

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\).

1. Étudier la parité de \(f\).

2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) et déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).