Étude des fonctions SM
Table des matières
Étude des Fonctions
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Plan d’étude d’une fonction
Schéma général
Méthode
Plan d’étude d’une fonction \(f\) :
-
Ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\).
-
Parité, périodicité : réduction éventuelle du domaine d’étude.
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Limites aux bornes de \(\mathcal{D}_f\) : recherche d’asymptotes.
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Dérivée \(f'\), signe de \(f'\), variations.
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Dérivée seconde \(f''\) (optionnel), signe : concavité et points d’inflexion.
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Tableau de variations complet.
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Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes remarquables.
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Tracé de la courbe \(\mathcal{C}_f\).
Réduction du domaine d’étude
Proposition
\(\bullet\)Si \(f\) est paire, on étudie sur \(\mathcal{D}_f \cap [0, +\infty[\), puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
\(\bullet\)Si \(f\) est impaire, on étudie sur \(\mathcal{D}_f \cap [0, +\infty[\), puis on complète par symétrie par rapport à l’origine \(O\).
\(\bullet\)Si \(f\) est \(T\)-périodique, on étudie sur un intervalle de longueur \(T\), puis on complète par translations horizontales de \(kT\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Éléments de symétrie
Proposition
\(\bullet\)La droite \(x = a\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) ssi : \((\forall x \in \mathcal{D}_f) \;\; 2a - x \in \mathcal{D}_f\) et \(f(2a - x) = f(x)\).
\(\bullet\)Le point \(\Omega(a, b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) ssi : \((\forall x \in \mathcal{D}_f) \;\; 2a - x \in \mathcal{D}_f\) et \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
Exemple
Montrer que \(\Omega(1, 0)\) est centre de symétrie de la courbe de \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1}\).
Asymptotes et branches infinies
Asymptote horizontale
Définition
La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y = \ell\) en \(+\infty\) ssi :
\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell.\]
(Idem en \(-\infty\).)
Asymptote verticale
Définition
La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x = a\) ssi :
\[\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \quad \text{ou} \quad \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty.\]
Asymptote oblique
Théorème
La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote oblique d’équation \(y = ax + b\) en \(+\infty\) ssi :
\[\lim\limits_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - (ax + b)\bigr] = 0.\]
Pratiquement, on cherche \(a\) et \(b\) par :
\[a = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \quad ; \quad b = \lim\limits_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - ax\bigr].\]
(Idem en \(-\infty\).)
Méthode
Pour les fonctions rationnelles, la division euclidienne du numérateur par le dénominateur fait apparaître l’asymptote oblique.
Exemple
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\). Division : \(\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}\).
Donc \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{2}{x - 1} = 0\).
L’asymptote oblique a pour équation \(y = x + 1\), en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Branche parabolique et branche infinie
Définition
Si \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a\) :
\(\bullet\)Si \(a \neq 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b\) (fini) : asymptote oblique \(y = ax + b\).
\(\bullet\)Si \(a \neq 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = \pm \infty\) : branche parabolique de direction \(y = ax\).
\(\bullet\)Si \(a = 0\) : branche parabolique de direction l’axe \((Ox)\).
\(\bullet\)Si \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty\) : branche parabolique de direction l’axe \((Oy)\).
Concavité et points d’inflexion
Dérivée seconde
Définition
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\). La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de \(f'\).
Concavité
Définition
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\).
\(\bullet\)\(\mathcal{C}_f\) est convexe (« tournée vers le haut ») sur \(I\) ssi \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\).
\(\bullet\)\(\mathcal{C}_f\) est concave (« tournée vers le bas ») sur \(I\) ssi \(f''(x) \leq 0\) pour tout \(x \in I\).
Points d’inflexion
Définition
Un point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est un point où la concavité change : \(f''\) s’annule et change de signe.
Méthode
Pour étudier la concavité de \(f\) :
-
Calculer \(f''(x)\).
-
Étudier le signe de \(f''(x)\).
-
Sur un intervalle où \(f'' \geq 0\) : \(\mathcal{C}_f\) convexe.
-
Sur un intervalle où \(f'' \leq 0\) : \(\mathcal{C}_f\) concave.
-
Points où \(f''\) change de signe : points d’inflexion.
Exemple
Étudier la concavité de \(f(x) = x^3 - 3x\).
Études complètes types
Fonction polynôme
Exemple
Étudier \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).
(1) Domaine. \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).
(2) Limites. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) (terme dominant \(x^3\)).
(3) Branche. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)/x = +\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\).
(4) Variations. \(f'(x) = 3 x^2 - 6 x = 3x(x - 2)\).
Signe : \(f' > 0\) sur \(]-\infty, 0[ \cup ]2, +\infty[\), \(f' < 0\) sur \(]0, 2[\).
\(f(0) = 2\) (maximum local), \(f(2) = -2\) (minimum local).
(5) Concavité. \(f''(x) = 6x - 6\) s’annule en \(x = 1\).
\(f''\) négatif pour \(x < 1\), positif pour \(x > 1\) : point d’inflexion \(I(1, 0)\).
(6) Tableau :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | ||||
| \(f\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-2\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Fonction rationnelle
Exemple
Étudier \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1}\).
(1) Domaine. \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
(2) Division. \(f(x) = x + 1 - \dfrac{3}{x - 1}\).
(3) Asymptotes.
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = +\infty\) (\(-3/0^-\)), \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) : asymptote verticale \(x = 1\).
\(\bullet\) \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x) - (x + 1)] = 0\) : asymptote oblique \(y = x + 1\).
(4) Variations. \(f'(x) = 1 + \dfrac{3}{(x - 1)^2} > 0\) partout sur \(\mathcal{D}_f\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty, 1[\) et sur \(]1, +\infty[\).
(5) Tableau : direct à partir de ce qui précède.
Fonction irrationnelle
Exemple
Étudier \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).
\(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\). \(f\) est paire.
\(f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) ; signe de \(x\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 0\) (par quantité conjuguée).
Donc asymptote oblique \(y = x\) en \(+\infty\), et \(y = -x\) en \(-\infty\) (par parité).
Fonction trigonométrique simple
Exemple
Étudier \(f(x) = \cos x - \sin x\) sur \([0, 2\pi]\).
\(f(x) = \sqrt{2} \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\). Donc \(f\) est \(2\pi\)-périodique, \(f(x) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
\(f'(x) = -\sin x - \cos x = -\sqrt{2} \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\).
\(f'(x) = 0\) pour \(x + \dfrac{\pi}{4} = k\pi\), soit \(x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\) ; dans \([0, 2\pi]\) : \(x = \dfrac{3\pi}{4}\) et \(x = \dfrac{7\pi}{4}\).
Variations sur \([0, 2\pi]\) : décroissance de \(1\) à \(-\sqrt{2}\) sur \([0, 3\pi/4]\), croissance jusqu’à \(\sqrt{2}\) sur \([3\pi/4, 7\pi/4]\), décroissance jusqu’à \(1\) sur \([7\pi/4, 2\pi]\).
Synthèse
Récapitulatif des notions
| Notion | Caractérisation |
|---|---|
| Asymptote horizontale \(y = \ell\) | \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\) |
| Asymptote verticale \(x = a\) | \(\lim\limits_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty\) |
| Asymptote oblique \(y = ax + b\) | \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0\) |
| Convexité | \(f'' \geq 0\) |
| Concavité | \(f'' \leq 0\) |
| Point d’inflexion | \(f''\) s’annule et change de signe |
| Axe de symétrie \(x = a\) | \(f(2a - x) = f(x)\) |
| Centre de symétrie \(\Omega(a, b)\) | \(f(2a - x) + f(x) = 2b\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Asymptote oblique en \(+\infty\) et \(-\infty\). Elles peuvent être différentes (cas typique : \(\sqrt{x^2 + 1}\)).
-
Point d’inflexion sans changement de concavité. \(f''(x_0) = 0\) n’implique pas point d’inflexion (cf. \(f(x) = x^4\)).
-
Concavité et croissance. Concavité ne signifie pas décroissance ; ce sont deux notions distinctes.
-
Axe vs centre de symétrie. Ne pas confondre les relations \(f(2a - x) = f(x)\) et \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
-
Réduire le domaine. Toujours préciser la transformation appliquée pour compléter la courbe.
Fin du chapitre 2 – Étude des Fonctions