Série d’exercices

Déterminer toutes les asymptotes des courbes des fonctions suivantes.

1. \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}\).

2. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\).

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}\).

4. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 5}\).

5. \(f(x) = x + \dfrac{1}{x^2 + 1}\).

Déterminer le comportement à l’infini (asymptote ou branche parabolique) :

1. \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) en \(\pm \infty\).

2. \(f(x) = x + \sqrt{x}\) en \(+\infty\).

3. \(f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x + 2}\) en \(\pm \infty\).

Étudier la concavité et déterminer les points d’inflexion (si existent).

1. \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + 9\).

2. \(f(x) = x^4 - 6 x^2\).

3. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\).

4. \(f(x) = \sin x\) sur \([0, 2\pi]\).

1. Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\). Montrer que \(\Omega(-1, 2)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\).

2. Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1\). Montrer que la droite \(x = 2\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\).

3. Soit \(f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}{(x - 1)^2}\). Trouver un centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\).

Étudier complètement \(f(x) = x^3 - 3 x^2 - 9 x + 5\). Tracer \(\mathcal{C}_f\).

Étudier complètement \(f(x) = x^4 - 2 x^2 + 1\). Préciser les points d’inflexion. Tracer.

Étudier complètement \(f(x) = \dfrac{3 x - 1}{x + 2}\). Donner le centre de symétrie. Tracer.

Étudier complètement \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x - 1}\). Préciser asymptotes verticale et oblique, centre de symétrie. Tracer.

Étudier complètement \(f(x) = x - \sqrt{x^2 - 4}\) sur \(\mathcal{D}_f\).

1. Déterminer \(\mathcal{D}_f\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) (utiliser la quantité conjuguée).

3. Étudier les variations.

4. Déterminer toutes les asymptotes.

5. Tracer.

Étudier complètement \(f(x) = 2 \sin x - \sin(2x)\) sur \([0, 2\pi]\).

1. Étudier les variations.

2. Déterminer les points où la dérivée s’annule.

3. Étudier la concavité.

4. Tracer.

Pour \(m\in\mathbb{R}\), on considère \(f_m(x)=\dfrac{x^2+mx+1}{x+1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

1. Déterminer l’asymptote oblique de \(\mathcal C_m\).

2. Étudier les variations de \(f_m\) suivant \(m\).

3. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(\mathcal C_m\) possède une tangente horizontale.

Soit \(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

1. Étudier les limites, les asymptotes et les variations de \(f\).

2. Montrer que l’origine est un centre de symétrie de \(\mathcal C_f\).

3. Construire \(\mathcal C_f\), puis discuter suivant \(m\) le nombre de solutions de \(f(x)=m\).