Cours 1ère Bac S EXP

Étude des fonctions

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Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal \((O;\vec{i};\vec{j})\).

I. Branches infinies

Soit \(f\) une fonction numérique et \((C_f)\) sa courbe représentative. L’étude des branches infinies de \((C_f)\) consiste à déterminer le comportement de \((C_f)\) au voisinage des bornes infinies du domaine et au voisinage des valeurs où \(f\) admet une limite infinie. Le schéma ci-dessous récapitule tous les cas possibles.

Remarque

Schéma récapitulatif des branches infinies.

Exemple

On considère les fonctions \(f\), \(g\), \(h\), \(k\) et \(m\) définies respectivement par :
\[f(x)=\dfrac{3x^{2}+x-2}{x^{2}-4}, \quad g(x)=\dfrac{x^{2}}{2x+3}, \quad h(x)=3x^{2}-2x+1, \quad k(x)=\sqrt{3x-2}, \quad m(x)=2x+\sqrt{x}.\]

1. Pour la fonction \(f\) :

  1. Calculer \(\lim\limits_{\substack{x\to 2\\ x>2}} f(x)\). Que peut-on en déduire concernant \((C_f)\) ?

  2. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)\). Que peut-on en déduire ?

2. Pour la fonction \(g\) :

  1. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{g(x)}{x}\).

  2. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[g(x)-\dfrac{1}{2}x\right]\).

  3. En déduire la nature de la branche infinie de \((C_g)\) au voisinage de \(+\infty\).

3. Pour la fonction \(h\) :

  1. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{h(x)}{x}\).

  2. Que peut-on en déduire concernant la branche infinie de \((C_h)\) au voisinage de \(+\infty\) ?

4. Pour la fonction \(k\) :

  1. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{k(x)}{x}\).

  2. En déduire la nature de la branche infinie de \((C_k)\) au voisinage de \(+\infty\).

5. Pour la fonction \(m\) :

  1. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} m(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{m(x)}{x}\).

  2. Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty}[m(x)-2x]\).

  3. Que peut-on en déduire ?

Application

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par son tableau de variations suivant :

Déterminer, à partir du tableau, toutes les asymptotes de la courbe \((C_f)\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{2x^{2}-7x+8}{x-3}\).

  1. Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(x\neq 3\) : \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}\).

  2. En déduire que la droite \((D):y=2x-1\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\).

  3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et de \((D)\).

3. Soit \(f\) la fonction définie sur \([-1;+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x+1}-2x\) et \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}\). Étudier les branches infinies de \((C_f)\) et \((C_g)\) au voisinage de \(+\infty\).

II. Convexité et concavité

Définition

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  • On dit que \((C_f)\) est convexe sur \(I\) si \((C_f)\) est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

  • On dit que \((C_f)\) est concave sur \(I\) si \((C_f)\) est située au-dessous de chacune de ses tangentes.

  • Le point \(A(a;f(a))\) est un point d’inflexion de \((C_f)\) si la courbe traverse sa tangente en ce point.

La courbe de la fonction \(\cos\) ci-dessus est concave sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) et convexe sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]\), et \(A\left(\dfrac{\pi}{2};0\right)\) est un point d’inflexion de \((C_{\cos})\).

Proposition

Soient \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\), \((C_f)\) sa courbe représentative et \(a\in I\).

  • Si \(f''\geq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est convexe sur \(I\).

  • Si \(f''\leq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est concave sur \(I\).

  • Si \(f''\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, alors \(A(a;f(a))\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).

Exemple

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1 \qquad \text{et} \qquad g(x)=\dfrac{1}{12}x^{4}-2x^{2}+3x+5.\]

1. Étude de \(f\) :

  1. Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).

  2. Étudier le signe de \(f''(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. En déduire les intervalles sur lesquels \((C_f)\) est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

  4. Déterminer le point d’inflexion de \((C_f)\).

2. Étude de \(g\) :

  1. Calculer \(g'(x)\) puis \(g''(x)\).

  2. Factoriser \(g''(x)\) et dresser son tableau de signe sur \(\mathbb{R}\).

  3. En déduire les intervalles de convexité et de concavité de \((C_g)\).

  4. Préciser les coordonnées des points d’inflexion de \((C_g)\).

Application

1. La figure ci-dessous représente la courbe \((C_f)\) d’une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \([-4;4]\).

Par lecture graphique, déterminer les intervalles sur lesquels \((C_f)\) est convexe, ceux sur lesquels elle est concave, et les abscisses des points d’inflexion.

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}\).

  1. Montrer que \(f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^{3}}\) pour tout \(x\neq 1\).

  2. Étudier la concavité de \((C_f)\) sur \(]-\infty;1[\) puis sur \(]1;+\infty[\).

  3. \((C_f)\) admet-elle un point d’inflexion ? Justifier.

3. Soit \(f(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{3}-x+2\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f''(x)\) et dresser son tableau de signe.

  2. Déterminer les points d’inflexion éventuels de \((C_f)\) et préciser leurs coordonnées.

III. Éléments de symétrie

Proposition

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  • La droite \((\Delta)\) d’équation \(x=a\) (avec \(a\in\mathbb{R}\)) est un axe de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si :
    \[\left\{\begin{array}{l}(\forall x\in D);\ (2a-x)\in D \\[4pt] (\forall x\in D);\ f(2a-x)=f(x)\end{array}\right.\]

  • Le point \(\Omega(a;b)\) (avec \((a;b)\in\mathbb{R}^{2}\)) est un centre de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si :
    \[\left\{\begin{array}{l}(\forall x\in D);\ (2a-x)\in D \\[4pt] (\forall x\in D);\ f(2a-x)+f(x)=2b\end{array}\right.\]

Exemple

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies respectivement par :
\[f(x)=x^{2}+x+1 \qquad \text{et} \qquad g(x)=\dfrac{x}{x-1}.\]

1. Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x=-\dfrac{1}{2}\).

  1. Déterminer le domaine \(D_f\) de \(f\).

  2. Vérifier que pour tout \(x\in D_f\) : \(2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-x\in D_f\).

  3. Calculer \(f(-1-x)\) et comparer avec \(f(x)\).

  4. En déduire que \((\Delta)\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

2. Soit \(\Omega\) le point de coordonnées \((1;1)\).

  1. Déterminer le domaine \(D_g\) de \(g\).

  2. Vérifier que pour tout \(x\in D_g\) : \(2(1)-x\in D_g\).

  3. Calculer \(g(2-x)+g(x)\) et comparer avec \(2\cdot 1\).

  4. En déduire que \(\Omega\) est un centre de symétrie de \((C_g)\).

Application

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-6x+5\).

  1. Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.

  2. Montrer que la droite \((D):x=3\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+3}{x+1}\).

  1. Montrer que pour tout \(x\neq -1\) : \(f(x)=x+1+\dfrac{2}{x+1}\).

  2. En déduire que \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).

3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^{3}+6x^{2}+3x+3\).

  1. Montrer que \(\Omega(-1;4)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).

  2. Sachant que l’on connaît l’étude de \(f\) sur \([-1;+\infty[\), expliquer comment en déduire directement le comportement de \(f\) sur \(]-\infty;-1]\).

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