Série d’exercices

Étudier les branches infinies des courbes des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\)

2. \(g(x) = \sqrt{x^2 + x}\)

3. \(h(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}\)

4. \(k(x) = x^3 - 3x + 1\)

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 2}\).

1. Déterminer les réels \(a, b, c\) tels que \(f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 2}\).

2. En déduire que la droite \((D): y = x - 1\) est asymptote oblique à \((C_f)\).

3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).

Étudier la convexité et déterminer les points d’inflexion éventuels des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).

2. \(g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\).

3. \(h(x) = (x-1)^4\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1\).

1. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations de \(f\).

2. Calculer \(f''(x)\), étudier son signe et déterminer les points d’inflexion.

3. Tracer la courbe \((C_f)\).

Étude complète de \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\) :

1. Étudier la parité de \(f\).

2. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes.

3. Étudier les variations de \(f\).

4. Tracer la courbe \((C_f)\).

Étude complète de \(f(x) = \dfrac{2x - 3}{x - 1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) :

1. Déterminer les limites aux bornes.

2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations.

4. Donner les asymptotes et tracer \((C_f)\).

Étude complète de \(f(x) = x + \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) :

1. Étudier la parité.

2. Calculer les limites aux bornes.

3. Étudier la branche infinie en \(+\infty\) : montrer que la droite \((D): y = x\) est asymptote.

4. Étudier les variations et tracer \((C_f)\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).

1. Étudier la parité et les limites en \(\pm\infty\).

2. Montrer que la droite \((D_1): y = x\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et \((D_2): y = -x\) en \(-\infty\).

3. Étudier les variations et tracer \((C_f)\).

Étude complète de \(f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}\) :

1. Déterminer le domaine de définition.

2. Étudier la parité.

3. Effectuer la division euclidienne et déduire l’asymptote oblique.

4. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et tracer \((C_f)\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 - 1)^2\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).

2. Étudier les variations de \(f\) et déterminer ses extremums.

3. Étudier la convexité de \(f\) et déterminer les points d’inflexion.

4. Tracer \((C_f)\).

Soit \(f\) définie sur \([-1; +\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\sqrt{x+1}\).

1. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(-1\).

2. Calculer \(f'(x)\) pour \(x > -1\) et étudier son signe.

3. Étudier la branche infinie en \(+\infty\).

4. Tracer \((C_f)\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}\).

1. Effectuer la division euclidienne pour montrer que \(f(x) = x - 1 + \dfrac{1}{x + 1}\).

2. En déduire que \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y = x - 1\).

3. Étudier les variations de \(f\) et déterminer ses extremums locaux.

4. Donner le tableau de variations complet et tracer \((C_f)\).