Série d’exercices

Déterminer le domaine \(\mathcal{D}_f\) de chacune des fonctions :

1. \(f_1(x) = \dfrac{x + 3}{x^2 - 9}\).

2. \(f_2(x) = \sqrt{6 - x - x^2}\).

3. \(f_3(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 1}\).

4. \(f_4(x) = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}}\).

5. \(f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}\).

6. \(f_6(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}\).

Préciser si les couples suivants définissent des fonctions égales (justifier).

1. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) et \(g(x) = x + 3\).

2. \(f(x) = \sqrt{x^2}\) et \(g(x) = x\).

3. \(f(x) = \sqrt{x^2}\) et \(g(x) = |x|\).

4. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) et \(g(x) = 1\).

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes (après vérification que le domaine est symétrique par rapport à \(0\)).

1. \(f_1(x) = x^4 + 5x^2 - 7\).

2. \(f_2(x) = \dfrac{x^3 - x}{x^2 + 1}\).

3. \(f_3(x) = x\sqrt{4 - x^2}\) sur \([-2, 2]\).

4. \(f_4(x) = |x + 1| - |x - 1|\).

5. \(f_5(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}\).

6. \(f_6(x) = \cos(x) + x \sin(x)\).

1. Montrer que \(f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)\) est périodique de période \(2\pi\).

2. Soit \(g(x) = \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right)\). Déterminer la période principale de \(g\).

3. Soit \(h(x) = \sin^2(x)\). Montrer que \(h\) est périodique de période \(\pi\).

4. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x + 2) = f(x)\) et \(f(x) = x\) sur \([0, 2[\). Donner les valeurs de \(f\) aux points \(-1\), \(3\), \(4{,}5\).

Étudier les variations sur l’intervalle indiqué, en utilisant le taux d’accroissement.

1. \(f(x) = x^2 - 4x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).

2. \(g(x) = \dfrac{1}{x - 2}\) sur \(]-\infty, 2[\), puis sur \(]2, +\infty[\).

3. \(h(x) = \dfrac{x}{x + 1}\) sur \(]-1, +\infty[\).

4. \(k(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\) sur \([0, +\infty[\) (utiliser la quantité conjuguée).

Étudier les variations de chacune des fonctions suivantes en l’écrivant comme composée \(g \circ f\) :

1. \(\varphi_1(x) = \sqrt{4 - x^2}\) sur \([-2, 2]\).

2. \(\varphi_2(x) = (x^2 - 4x + 3)^3\) sur \(\mathbb{R}\).

3. \(\varphi_3(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

4. \(\varphi_4(x) = (3 - x)^2\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\). Mettre sous forme canonique et déterminer le maximum.

2. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\). Déterminer le maximum sur \(\mathbb{R}\).

3. Soit \(h(x) = x + \dfrac{4}{x}\) sur \(]0, +\infty[\). Étudier les variations et trouver le minimum.

4. Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 13}\). Déterminer le minimum sur \(\mathbb{R}\).

1. Comparer sur \(\mathbb{R}_+\) les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x^3\).

2. Comparer sur \([0, +\infty[\) les fonctions \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = \dfrac{x + 1}{2}\) (indication : étudier \(g - f\)).

3. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}\) et \(g(x) = x - 1\) sur \(]-1, +\infty[\). Montrer que \(f(x) \geq g(x) + \dfrac{1}{x + 1}\).

Soit \(f\) une fonction définie sur \([-3, 5]\) dont on connaît le tableau de variations :

1. Déterminer l’image de \([-3, 5]\) par \(f\).

2. Discuter le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = k\) selon les valeurs de \(k\).

3. Donner le nombre de solutions de \(f(x) = 0\).

4. Quelles sont les variations de \(h(x) = f(x) + 2\) et \(\ell(x) = -3 f(x)\) ?

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1}\).

1. Déterminer \(\mathcal{D}_f\).

2. Montrer que \(f(x) = x - 1 - \dfrac{1}{x - 1}\) pour tout \(x \in \mathcal{D}_f\).

3. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty, 1[\) et sur \(]1, +\infty[\).

4. Montrer que le centre de symétrie de la courbe \(\mathcal{C}_f\) est le point \(\Omega(1, 0)\).

5. Dresser le tableau de variations complet.

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).

1. Montrer que \(f\) est impaire.

2. Étudier les variations de \(f\) sur \([0, +\infty[\), puis sur \(\mathbb{R}\) par parité.

3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(-1 < f(x) < 1\).

4. L’application \(f : \mathbb{R} \to ]-1, 1[\) est-elle bijective ? (Indication : exprimer \(x\) en fonction de \(y = f(x)\).)