Généralités sur les fonctions
Table des matières
- Parité d’une fonction
- Fonctions majorées, minorées, bornées et extremums
- Fonctions périodiques
- Comparaison de deux fonctions
- Image d’un intervalle par une fonction numérique
- Monotonie d’une fonction numérique
- Composée de deux fonctions numériques
- Représentations graphiques de \(x \mapsto a x^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)
Parité d’une fonction
Définition
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un ensemble \(D \subseteq \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in D,\ -x \in D\).
-
\(f\) est dite paire sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right):\ f(-x) = f(x)\).
-
\(f\) est dite impaire sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right):\ f(-x) = -f(x)\).
L’interprétation graphique (axe et centre de symétrie) sera étudiée au chapitre 11.
Exemple
Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :
-
\(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(h(x) = \sqrt{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(k(x) = x + \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Application
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x|x| + 2x^3\).
-
Vérifier que \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\).
-
Étudier la parité de \(f\).
Fonctions majorées, minorées, bornées et extremums
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On a les définitions suivantes.
-
\(f\) est majorée sur \(I\) s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \le M\).
-
\(f\) est minorée sur \(I\) s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\left(\forall x \in I\right): m \le f(x)\).
-
\(f\) est bornée sur \(I\) si elle est à la fois majorée et minorée sur \(I\).
-
\(f(a)\) est le maximum de \(f\) sur \(I\) si \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \le f(a)\).
-
\(f(a)\) est le minimum de \(f\) sur \(I\) si \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \ge f(a)\).
-
\(f(a)\) est un extremum de \(f\) sur \(I\) s’il en est le maximum ou le minimum.
Interprétation graphique.
Si \(f\) est majorée par \(M\) sur \(I\), \((C_f)\) est au-dessous de la droite \(y = M\) sur \(I\).
Si \(f\) est minorée par \(m\) sur \(I\), \((C_f)\) est au-dessus de la droite \(y = m\) sur \(I\).
Exemple
On considère les fonctions :
-
\(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) ;
-
\(g(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est majorée par \(1\) sur \(\left]0;+\infty\right[\) et minorée par \(1\) sur \(\left]-\infty;0\right[\).
-
La fonction \(f\) est-elle bornée sur \(\mathbb{R}^*\) ? Justifier.
-
Calculer \(g(2)\) et montrer que \(-3\) est le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Que peut-on en déduire pour la position de la courbe \((C_g)\) par rapport à la droite \(y = -3\) ?
Application
On considère les fonctions définies par \(f(x) = 3 - \sqrt{1-2x}\) et \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\).
-
Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
-
Montrer que \(f\) est majorée par \(3\) sur \(D_f\).
-
Montrer que \(g\) est minorée par \(4\) sur \(\left]0;+\infty\right[\) et majorée par \(-4\) sur \(\left]-\infty;0\right[\).
Fonctions périodiques
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur \(D\) et \(T\) un nombre réel strictement positif. On dit que \(f\) est périodique de période \(T\) (ou \(T\)-périodique) sur \(D\) si :
-
\(\forall x \in D,\ x + T \in D\) ;
-
\(\forall x \in D,\ f(x + T) = f(x)\).
Périodes des fonctions de référence : \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques ; \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.
Exemple
On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
-
\(f(x) = \cos^2(x)\) ;
-
\(g(x) = \sin(2\pi x)\).
-
Montrer que \(f\) est \(\pi\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).
Application
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{3}\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{3}\right)\).
-
Déterminer un réel \(T > 0\) tel que \(f(x + T) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
-
En déduire que \(f\) est périodique sur \(\mathbb{R}\).
Comparaison de deux fonctions
Définition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur le même ensemble \(D\).
-
\(f\) et \(g\) sont égales sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right): f(x) = g(x)\).
-
\(f\) est supérieure ou égale à \(g\) sur \(D\), noté \(f \geq g\), si \(\left(\forall x \in D\right): f(x) \geq g(x)\).
Interprétation graphique.
Si \(f > g\) sur \(D\), alors \((C_f)\) est strictement au-dessus de \((C_g)\) sur \(D\).
Si \(f \leq g\) sur \(D\), alors \((C_f)\) est au-dessous de \((C_g)\) sur \(D\).
Exemple
On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
-
\(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x^2 + 2}\) et \(g(x) = x + 1\) ;
-
\(u(x) = x^2 - 2x + 1\) et \(v(x) = -2x^2 + 4x + 1\).
-
Comparer \(f\) et \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Étudier le signe de \(u(x) - v(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
-
En déduire la comparaison entre \(u\) et \(v\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par leurs courbes ci-dessous.
-
Résoudre graphiquement les équations : \(f(x) = 2\), \(f(x) = 0\), \(f(x) = g(x)\).
-
Résoudre graphiquement les inéquations : \(f(x) < 2\), \(g(x) \geq 0\), \(f(x) > g(x)\).
Image d’un intervalle par une fonction numérique
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). L’image de l’intervalle \(I\) par \(f\) est l’ensemble :
\[f(I) = \{ f(x) \ /\ x \in I \}.\]
Technique de détermination sur \([a; b]\) :
-
Si \(f\) est croissante sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [f(a); f(b)]\).
-
Si \(f\) est décroissante sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [f(b); f(a)]\).
-
Si \(f\) change de monotonie sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [m; M]\) où \(m\) et \(M\) sont respectivement le minimum et le maximum de \(f\) sur \([a; b]\).
Exemple
La figure ci-contre représente la courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([-2;4]\). Lire sur la figure et déterminer les images suivantes :
-
\(f([-2;-1])\)
-
\(f([-1;1])\)
-
\(f([0;1])\)
-
\(f([1;3])\)
-
\(f([1;4])\)
-
\(f([0;3[)\)
-
\(f(]-1;1[)\)
-
\(f(]-2;4[)\)
Application
Soit \(f\) une fonction dont le tableau de variations est donné ci-contre.
Déterminer chacune des images suivantes :
-
\(f([-4;0])\)
-
\(f([0;1])\)
-
\(f([0;2])\)
-
\(f([-4;1])\)
-
\(f([1;+\infty[)\)
Monotonie d’une fonction numérique
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(\lambda\) un nombre réel.
-
\(f\) et \(f + \lambda\) ont le même sens de variations sur \(I\).
-
Si \(\lambda > 0\), alors \(f\) et \(\lambda f\) ont le même sens de variations sur \(I\).
-
Si \(\lambda < 0\), alors \(f\) et \(\lambda f\) ont des sens de variations contraires sur \(I\).
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\).
-
Étudier la parité de \(f\).
-
Étudier la monotonie de \(f\) sur \([0;+\infty[\), puis sur \(\left]-\infty;0\right]\).
-
En déduire la monotonie des fonctions \(3f\), \(-2f\) et \(f + 3\) sur \([0;+\infty[\).
Application
Soit \(f\) une fonction définie sur \([-3; 3]\) par sa courbe ci-contre.
Donner le tableau de variations des fonctions \(f\), \(f + 2\) et \(-3f\).
Composée de deux fonctions numériques
Définition
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) tels que \(\forall x \in I,\ f(x) \in J\). La fonction composée de \(f\) par \(g\), notée \(g \circ f\), est définie sur \(I\) par :
\[(g \circ f)(x) = g(f(x)).\]
Remarques.
-
\(x \in D_{g \circ f} \Longleftrightarrow x \in D_f\) et \(f(x) \in D_g\).
-
En général, \(g \circ f \neq f \circ g\).
Proposition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies respectivement sur les intervalles \(I\) et \(J\) tels que \(f(I) \subset J\).
-
Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variations, alors \(g \circ f\) est croissante sur \(I\).
-
Si \(f\) et \(g\) ont des sens de variations contraires, alors \(g \circ f\) est décroissante sur \(I\).
Exemple
On considère les fonctions :
-
\(f(x) = x^2\) et \(g(x) = \dfrac{2x}{x - 4}\) ;
-
\(h(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2}\).
-
Déterminer \(D_{g \circ f}\) et l’expression de \(g \circ f\).
-
On pose \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x}\). Vérifier que \(h = v \circ u\).
-
Étudier la monotonie de \(u\) sur \(\left]-\infty; 0\right]\) et sur \([0;+\infty[\), puis celle de \(v\) sur \([0;+\infty[\).
-
En déduire la monotonie de \(h\) sur \(\left]-\infty; 0\right]\) et sur \([0;+\infty[\).
Application
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(g(x) = \dfrac{2x + 3}{3x - 6}\).
-
Déterminer \(D_f\), \(D_g\) et \(D_{g \circ f}\), puis l’expression de \(g \circ f\).
-
Écrire la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(\varphi(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 5}\) comme composée de deux fonctions à préciser.
Représentations graphiques de \(x \mapsto a x^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)
Proposition
Fonction \(x \mapsto a x^3\) (\(a \neq 0\)).
| \(a > 0\) | \(a < 0\) | |
| [Figure — voir le PDF] | [Figure — voir le PDF] | |
| [Figure — voir le PDF] | [Figure — voir le PDF] |
Fonction \(x \mapsto \sqrt{x + a}\).
| Tableau de variations | Courbe | |
| [Figure — voir le PDF] | [Figure — voir le PDF] |
Exemple
On considère les fonctions définies par \(f(x) = \sqrt{x+5}\) et \(g(x) = -2x^3\).
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Étudier les variations de \(f\) et de \(g\).
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Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormé.
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Résoudre graphiquement, sur \([-5; +\infty[\), l’inéquation \(\sqrt{x+5} + 2x^3 < 0\).
Application
On considère les fonctions définies par \(f(x) = \dfrac{1}{9}x^2 + 1\) et \(g(x) = \sqrt{x+1}\).
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Déterminer \(D_g\) et vérifier que \(f(0) = g(0)\) et \(f(3) = g(3)\).
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Représenter \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormé.
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Résoudre graphiquement sur \([-1; +\infty[\) l’inéquation \(\dfrac{1}{9}x^2 + 1 - \sqrt{x+1} \le 0\).
Exercice n°1
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \sqrt{\dfrac{1}{9}x^2 + 2}\). On reprend \(f\) et \(g\) de l’application précédente.
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Vérifier que \(\left(\forall x \in \mathbb{R}\right):\ h(x) = (g \circ f)(x)\).
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En déduire les variations de \(h\) sur \(\left]-\infty;0\right]\) et sur \([0;+\infty[\) en utilisant les variations de \(f\) et \(g\).