Série d’exercices

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = 3x^2 - 5\) sur \(\mathbb{R}\).

2. \(g(x) = x^3 + 2x\) sur \(\mathbb{R}\).

3. \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

4. \(k(x) = \sqrt{x^2 + 1} + |x|\) sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}\).

1. Montrer que \(f\) est minorée par \(\dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Montrer que \(f\) est majorée par \(1\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Préciser les valeurs de \(x\) pour lesquelles ces bornes sont atteintes.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = x + \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

1. Calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\).

2. Montrer que pour tout \(x > 0\), \(f(x) \ge 2\). Préciser la valeur de \(x\) pour laquelle l’égalité a lieu.

3. Montrer que pour tout \(x < 0\), \(f(x) \le -2\).

Étudier la périodicité des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :

1. \(f(x) = \sin^2 x\).

2. \(g(x) = \cos(3x) + \sin(3x)\).

3. \(h(x) = |\sin x|\).

4. \(k(x) = \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\).

On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 4x + 5\) et \(g(x) = 2x - 3\).

1. Étudier le signe de \(f(x) - g(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

2. En déduire la position relative des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\).

1. Dresser le tableau de variations de \(f\).

2. Déterminer \(f([0; 3])\), \(f([1; 4])\) et \(f([-1; 5])\).

Étudier la monotonie sur \([0; +\infty[\) de chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \sqrt{x+2}\).

2. \(g(x) = \dfrac{2}{x+1}\).

3. \(h(x) = x^2 + 3x\).

4. \(k(x) = \dfrac{x}{x+1}\).

Soient \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = x^2 + 1\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \((g \circ f)(x)\) et \((f \circ g)(x)\).

2. Comparer \(g \circ f\) et \(f \circ g\).

Soit \(h\) la fonction définie sur \([-1; +\infty[\) par \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\).

1. Écrire \(h\) comme composée de deux fonctions \(f\) et \(g\) à préciser.

2. Étudier la monotonie de \(h\) sur \([-1; +\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x-1)^3 + 2\).

1. Tracer la courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé.

2. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x) \ge 2\).

On considère \(f(x) = \sqrt{x+3}\) et \(g(x) = -x + 2\).

1. Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).

2. Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormé.

3. Résoudre graphiquement l’équation \(f(x) = g(x)\) sur \([-3; +\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^* \setminus \{1\}\) par \(f(x) = \dfrac{x+1}{x(x-1)}\).

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x) = \dfrac{1}{x}\). Vérifier que \(f\) peut s’écrire \(f(x) = -g(x) + 2g(x-1) - g(x-1) + g(x)\). (Indication : décomposer en éléments simples.)

2. Justifier brièvement, à partir de la décomposition, le comportement de \(f\) aux valeurs \(x = 0\) et \(x = 1\).