Géométrie dans l’espace 2B
Table des matières
Remarque
Dans tout ce chapitre, l’espace est rapporté au repère orthonormé direct \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Produit scalaire dans l’espace
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace, et \(A, B, C\) trois points tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\). Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) dans tout plan contenant \(A, B, C\).
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Si \(\vec{u}, \vec{v}\) sont non nuls : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\).
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\(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
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\(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\), noté \(\vec{u}^{\,2}\).
Expression analytique
Proposition
Si \(\vec{u}(x,y,z)\) et \(\vec{v}(x',y',z')\), alors :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz', \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.\]
Pour \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\) : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\).
Exemple
« Nature d’un triangle. »
Soient \(A(2,-1,1)\), \(B(5,3,1)\), \(C(6,-4,1)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), puis donner la nature du triangle \(ABC\).
Solution. \(\overrightarrow{AB}(3,4,0)\), \(\overrightarrow{AC}(4,-3,0)\). \(AB = \sqrt{9+16} = 5\), \(AC = \sqrt{16+9} = 5\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 - 12 + 0 = 0\). Triangle rectangle isocèle en \(A\).
Orthogonalité de deux droites
Proposition
\((D_1) \perp (D_2) \;\Longleftrightarrow\; \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0\) où \(\vec{u_1}\), \(\vec{u_2}\) sont des vecteurs directeurs de \((D_1)\), \((D_2)\).
Application
Vérifier que \((D_1) \perp (D_2)\) :
\((D_1)\) dirigée par \(\vec{u}(1,2,3)\) ; \((D_2) : \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - 2t \\ z = 5 \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
À faire à la maison
Soient \(A(1,0,2)\), \(B(3,2,0)\), \(C(2,4,3)\), \(D(0,2,5)\).
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Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\) et en déduire que \((AB) \perp (CD)\).
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Calculer la mesure (en degrés) de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}\).
Équation cartésienne d’un plan
Proposition
Soit \(\vec{n}(a,b,c)\) un vecteur non nul et \(A(x_A, y_A, z_A)\) un point de l’espace. Il existe un unique plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) :
\[M(x,y,z) \in (P) \;\Longleftrightarrow\; \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \;\Longleftrightarrow\; ax + by + cz + d = 0\]
avec \(d = -(a x_A + b y_A + c z_A)\).
Exemple
« Équation d’un plan. »
Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1,-2,3)\) de vecteur normal \(\vec{n}(1,-3,-2)\).
Solution. Le plan a pour équation \(1\cdot x - 3\cdot y - 2\cdot z + d = 0\). Or \(A \in (P)\) : \(1 - 3(-2) - 2(3) + d = 0\), soit \(1 + 6 - 6 + d = 0\), donc \(d = -1\). Conclusion : \((P) : x - 3y - 2z - 1 = 0\).
Distance d’un point à un plan
Proposition
Si \((P) : ax + by + cz + d = 0\) et \(A(x_A, y_A, z_A)\) :
\[d(A,(P)) = \dfrac{|a x_A + b y_A + c z_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\]
Orthogonalité et parallélisme de plans
Proposition
Soient \((P)\), \((Q)\) deux plans de vecteurs normaux \(\vec{n}_P\), \(\vec{n}_Q\).
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\((P) \perp (Q) \;\Longleftrightarrow\; \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0\).
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\((P) \parallel (Q) \;\Longleftrightarrow\; \vec{n}_P, \vec{n}_Q\) colinéaires.
Application
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Soit \((P)\) : \(x + y + z + 1 = 0\) et \(A(1,2,0)\). Calculer \(d(A,(P))\), déterminer la droite \((D)\) passant par \(A\) orthogonale à \((P)\), et trouver le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((P)\).
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Étudier l’orthogonalité de \((P) : 2x + z - 1 = 0\) et \((Q) : x - 2y - 2z + 1 = 0\).
À faire à la maison
On considère les points \(A(-1,0,1)\), \(B(1,2,-1)\), \(C(1,-1,2)\) et le plan \((P) : x + y - z = 0\).
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Donner une représentation paramétrique de \((AB)\).
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Vérifier que \((AB) \perp (P)\) et déterminer le point d’intersection.
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Montrer que \((AC) \parallel (P)\).
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Déterminer une équation cartésienne du plan \((Q)\) passant par \(B\) et parallèle à \((P)\).
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Calculer la distance entre \((P)\) et \((Q)\).
Étude analytique d’une sphère
Définition
La sphère \((S)\) de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R > 0\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M = R\). Son équation cartésienne :
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.\]
Proposition
Soient \(A, B\) deux points distincts. La sphère de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0\).
Proposition
Soit \((S) : x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0\). Posons \(\Delta = a^2 + b^2 + c^2 - 4d\).
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Si \(\Delta > 0\) : \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega\!\left(-\dfrac{a}{2}, -\dfrac{b}{2}, -\dfrac{c}{2}\right)\) et de rayon \(R = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}\).
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Si \(\Delta = 0\) : \((S) = \{\Omega\}\).
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Si \(\Delta < 0\) : \((S) = \emptyset\).
Exemple
« Identification d’une sphère. »
Étudier \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 3z + 2 = 0\).
Solution. Ici \(a = 0\), \(b = -2\), \(c = 3\), \(d = 2\). \(\Delta = 0 + 4 + 9 - 8 = 5 > 0\). Donc \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega\!\left(0\,;1\,;-\dfrac{3}{2}\right)\) et rayon \(R = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
Application
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Donner une équation cartésienne de la sphère de centre \(\Omega(2,0,1)\) de rayon \(\sqrt{2}\).
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Donner une équation cartésienne de la sphère de centre \(\Omega(1,-1,2)\) passant par \(A(-1,4,5)\).
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Identifier \((S)\) : \(x^2+y^2+z^2 - 4x - 6y = 0\).
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Donner deux méthodes pour l’équation de la sphère de diamètre \([AB]\) avec \(A(-1,3,2)\), \(B(-3,1,0)\).
À faire à la maison
On considère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z + 5 = 0\).
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Vérifier que \((S)\) est une sphère ; déterminer son centre \(\Omega\) et son rayon \(R\).
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Le point \(A(2,1,3)\) appartient-il à \((S)\) ?
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Soient \(B(1,1,1)\) et \(C(5,1,3)\). Montrer que \([BC]\) est un diamètre de \((S)\).
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Donner une représentation paramétrique de \((S)\).
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Donner les équations des deux plans tangents à \((S)\) et parallèles à \(z = 0\).
Position relative sphère / plan / droite
Tableau récapitulatif
| Sphère / plan | \(d = d(\Omega, (P))\) | Intersection |
| \(d > R\) | vide | |
| 2-3 | \(d = R\) | un point (tangence) |
| 2-3 | \(d < R\) | cercle de centre \(H\), rayon \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\) |
| Sphère / droite | \(d = d(\Omega, (D))\) | Intersection |
| \(d > R\) | vide | |
| 2-3 | \(d = R\) | un point (tangence) |
| 2-3 | \(d < R\) | deux points |
Exemple
« Position sphère / plan. »
Soit \((S) : x^2+y^2+z^2 + 2x - 2y + 2z - 1 = 0\) et \((P_1) : 2x + y + 2z - 3 = 0\). Étudier la position relative.
Solution. Centre \(\Omega(-1,1,-1)\), rayon \(R = \sqrt{1+1+1+1} = 2\). \(d(\Omega,(P_1)) = \dfrac{|2(-1) + 1 + 2(-1) - 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{6}{3} = 2 = R\). Donc \((P_1)\) est tangent à \((S)\).
Application
Soit \((S)\) : \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 2z - 1 = 0\). Étudier la position relative de \((S)\) et de chaque plan :
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\((P_2) : x - 2y + 2z + 3 = 0\)
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\((P_3) : x + 2y - z + 9 = 0\)
-
\((P_4) : x - y + z = 0\)
À faire à la maison
Soit \((P) : 2x - 2y - 5 = 0\) et \((S) : x^2+y^2+z^2 - 2x + 4y + 6z + 11 = 0\).
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Montrer que \((S)\) est une sphère et déterminer \(\Omega\), \(R\).
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Montrer que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((C)\) ; déterminer son centre \(H\) et son rayon \(r\).
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Donner les deux équations cartésiennes des plans tangents à \((S)\) et parallèles à \((P)\).
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Soit \((Q) : x + y + z + 1 = 0\). Vérifier que \((Q)\) est tangent à \((S)\) et déterminer le point de contact.
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Vérifier que \(A(2,-1,-2) \in (S)\) et déterminer une équation du plan tangent à \((S)\) en \(A\).
Produit vectoriel
Définition
Le produit vectoriel de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) (ou \(\vec{u} \times \vec{v}\)), est le vecteur \(\vec{w}\) tel que :
-
Si \(\vec{u}, \vec{v}\) colinéaires : \(\vec{w} = \vec{0}\).
-
Sinon : \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base directe, et \(\|\vec{w}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})|\).
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\;\Longleftrightarrow\; \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\).
Proposition
Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
-
\(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\,\vec{v} \wedge \vec{u}\)
-
\(\vec{u} \wedge \vec{0} = \vec{0}\)
-
\(\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}\)
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\((\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha\,(\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{u} \wedge (\alpha \vec{v})\)
Expression analytique
Proposition
Si \(\vec{u}(x,y,z)\) et \(\vec{v}(x',y',z')\) :
\[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y z' - z y' \\ z x' - x z' \\ x y' - y x' \end{pmatrix}.\]
Moyen mnémotechnique :
\[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} \;-\; \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} \;+\; \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}.\]
Exemple
« Calcul d’un produit vectoriel. »
Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) pour \(\vec{u}(0,1,-2)\) et \(\vec{v}(-3,1,2)\).
Solution.
\[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 - (-2) \times 1 \\ (-2) \times (-3) - 0 \times 2 \\ 0 \times 1 - 1 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}.\]
Applications du produit vectoriel
Proposition
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Plan défini par 3 points \(A, B, C\) non alignés : \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\).
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Aire d’un triangle : \(\mathcal{A}(ABC) = \dfrac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|\).
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Aire d’un parallélogramme \(ABCD\) : \(\mathcal{A} = \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}\|\).
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Distance d’un point \(M\) à une droite \((D) = (A, \vec{u})\) : \(d(M, (D)) = \dfrac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\).
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Intersection de deux plans \((P), (Q)\) de normales \(\vec{n}_P, \vec{n}_Q\) : si \(\vec{n}_P \wedge \vec{n}_Q \neq \vec{0}\), \((P) \cap (Q)\) est une droite dirigée par \(\vec{n}_P \wedge \vec{n}_Q\).
Exemple
« Plan défini par 3 points. »
Soient \(A(2,4,-5)\), \(B(1,0,4)\), \(C(0,3,1)\). Donner une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Solution. \(\overrightarrow{AB}(-1,-4,9)\), \(\overrightarrow{AC}(-2,-1,6)\).
\[\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} (-4)(6) - (9)(-1) \\ (9)(-2) - (-1)(6) \\ (-1)(-1) - (-4)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ -12 \\ -7 \end{pmatrix}.\]
Plan \((ABC) : -15(x-2) - 12(y-4) - 7(z+5) = 0\), soit \(-15x - 12y - 7z + 43 = 0\), ou encore \(15x + 12y + 7z - 43 = 0\).
Application
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Soient \(A(-1,2,0)\), \(B(3,0,4)\), \(C(-2,1,2)\). Vérifier que \(A, B, C\) ne sont pas alignés et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
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Calculer la distance de \(M(3,2,1)\) à \((D) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = -t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
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Soient \((P) : 2x + z - 1 = 0\), \((Q) : x - 2y - 2z + 1 = 0\). Vérifier que \((P) \cap (Q)\) est une droite, donner un vecteur directeur et une représentation paramétrique.
À faire à la maison
On considère les points \(A(0,-2,-2)\), \(B(1,-2,-4)\), \(C(-3,-1,2)\), et la sphère \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 23 = 0\).
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Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}\).
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En déduire que \(2x + 2y + z + 6 = 0\) est une équation cartésienne de \((ABC)\).
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Montrer que le centre de \((S)\) est \(\Omega(1,0,1)\) et \(R = 5\).
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Vérifier que \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}\) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) orthogonale à \((ABC)\).
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Déterminer le point \(H\) d’intersection de \((\Delta)\) et \((ABC)\).
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Vérifier \(d(\Omega, (ABC)) = 3\), puis montrer que \((ABC) \cap (S)\) est un cercle de rayon \(4\) centré en \(H\).
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Calculer l’aire du triangle \(ABC\) et celle du parallélogramme \(ABCD\) où \(D\) est tel que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).