Cours 1ère Bac S EXP

Géométrie dans l’espace

8 min de lecture · Étude analytique de l'espace
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Table des matières
  1. Calcul vectoriel et colinéarité
  2. Vecteurs coplanaires et bases
  3. Déterminant et coplanarité
  4. Droites et plans dans l’espace
  5. Positions relatives

Calcul vectoriel et colinéarité

Définition

Soient \(A, B\) deux points de l’espace.

  • Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le bipoint \((A, B)\) ; si \(A \neq B\), il est caractérisé par sa direction (droite \((AB)\)), son sens et sa norme \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\). Si \(A=B\), \(\overrightarrow{AB}=\vec{0}\).

  • L’ensemble des vecteurs de l’espace est noté \(\mathcal{V}_3\).

  • Somme : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (relation de Chasles).

  • Produit par un réel \(\alpha\) : \(\alpha\vec{0}=\vec{0}\) ; pour \(\vec{u}\neq\vec{0}\) et \(\alpha\neq 0\), \(\alpha\vec{u}\) a même direction que \(\vec{u}\), même sens si \(\alpha>0\) (resp. opposé si \(\alpha<0\)), et \(\|\alpha\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{u}\|\).

  • Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(\vec{u}=\alpha\vec{v}\) ou \(\vec{v}=\alpha\vec{u}\).

  • Alignement : \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Proposition

Pour \(\vec{u}, \vec{v}\in\mathcal{V}_3\) et \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) : \(\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}\) ; \((\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}\) ; \(\alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}\).

Exemple

On considère le parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\).

  1. Montrer que \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BH}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AF}\).

  2. Soit \(OABC\) un tétraèdre, et \(I, E, F\) tels que \(2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\), \(3\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(\overrightarrow{IF}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) et en déduire que \(I, E, F\) sont alignés.

Application

On considère le cube \(ABCDEFGH\). Soient \(I, J\) les milieux respectifs de \([BG]\) et \([HG]\), et \(K\) tel que \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\). Montrer que les droites \((AJ)\) et \((IK)\) sont parallèles.

Vecteurs coplanaires et bases

Définition

  • Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) non nuls sont coplanaires si les points \(A, B, C, D\) tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\), \(\vec{w}=\overrightarrow{AD}\) appartiennent à un même plan.

  • Si \(\vec{u}, \vec{v}\) ne sont pas colinéaires, alors \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement s’il existe \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) tels que \(\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\).

  • Trois vecteurs \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) non coplanaires constituent une base de \(\mathcal{V}_3\). Pour tout \(\vec{u}\in\mathcal{V}_3\), il existe \((x, y, z)\in\mathbb{R}^3\) unique tel que \(\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\) ; on note \(\vec{u}(x; y; z)\).

  • Quatre points \(A, B, C, D\) non coplanaires définissent un repère cartésien \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\). Tout point \(M\) admet des coordonnées uniques \((x_M, y_M, z_M)\).

Proposition

Soient \(\vec{u}(x; y; z)\), \(\vec{v}(x'; y'; z')\) deux vecteurs et \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(B(x_B; y_B; z_B)\) deux points dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

  • Coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\) : \((x+x'; y+y'; z+z')\) ; de \(\alpha\vec{u}\) : \((\alpha x; \alpha y; \alpha z)\).

  • Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)\).

  • Coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).

Exemple

On considère le tétraèdre \(ABCD\). Soient \(I\) le milieu de \([BD]\) et \(J\) le centre de gravité de \(ACD\).

  1. Déterminer dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\) les coordonnées des points \(C\), \(I\) et \(J\).

  2. Soit \(E, F\) tels que \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\). Montrer que les points \(I, J, C, F\) sont coplanaires.

Application

On considère le parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\).

  1. Vérifier que \((\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EH})\) forme une base de \(\mathcal{V}_3\).

  2. Déterminer dans cette base les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(-3\overrightarrow{FG}\) et \(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{EC}\).

Déterminant et coplanarité

Définition

Soient \(\vec{u}(x_1; y_1; z_1)\), \(\vec{v}(x_2; y_2; z_2)\), \(\vec{w}(x_3; y_3; z_3)\) trois vecteurs dans une base de \(\mathcal{V}_3\). Le déterminant est :
\[\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=\begin{vmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3\end{vmatrix}=x_1\begin{vmatrix}y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3\end{vmatrix}-y_1\begin{vmatrix}x_2 & x_3 \\ z_2 & z_3\end{vmatrix}+z_1\begin{vmatrix}x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3\end{vmatrix}.\]

Critère : \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=0\).

Exemple

Soient \(\vec{u_1}(-1; -2; 0)\), \(\vec{u_2}(3; 5; -1)\), \(\vec{u_3}(-5; -5; 5)\) et \(\vec{u_4}(0; -1; 2)\).

  1. Calculer \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3})\) et \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_4})\).

  2. En déduire si chacun des triplets est coplanaire ou non.

Application

Soit \(ABCD\) un tétraèdre et \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\), \(\vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) dans la base \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\).

  2. Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont-ils coplanaires ?

Droites et plans dans l’espace

Définition

Soit \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(\vec{u}(\alpha; \beta; \gamma)\) et \(\vec{v}(\alpha'; \beta'; \gamma')\) avec \(\vec{u}, \vec{v}\) non colinéaires.

  • Droite \(D(A, \vec{u})\) — représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=x_A+\alpha t \\ y=y_A+\beta t \\ z=z_A+\gamma t\end{cases}\) (\(t \in \mathbb{R}\)).

  • Droite \(D(A, \vec{u})\) — équations cartésiennes : si \(\alpha\beta\gamma\neq 0\), \(\dfrac{x-x_A}{\alpha}=\dfrac{y-y_A}{\beta}=\dfrac{z-z_A}{\gamma}\). Cas dégénérés : on adapte selon les composantes nulles.

  • Plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) — équation cartésienne : \(M\in(P) \Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}, \vec{v})=0\), ce qui s’écrit \(ax+by+cz+d=0\).

  • Plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) — représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=x_A+\alpha t_1+\alpha' t_2 \\ y=y_A+\beta t_1+\beta' t_2 \\ z=z_A+\gamma t_1+\gamma' t_2\end{cases}\) (\(t_1, t_2 \in \mathbb{R}\)).

Exemple

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(2; 0; 1)\) et \(B(2; 3; 2)\).

  2. Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite passant par \(A(1; 5; -2)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(-2; 3; 1)\).

  3. Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1; 2; 3)\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}(\sqrt{2}; 0; -1)\) et \(\vec{v}(0; 1; \sqrt{2})\).

  4. Déterminer une représentation paramétrique du plan \((Q): 2x-y+4z-1=0\).

Application

  1. Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite passant par \(A(3; -2; 0)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2; 0; -1)\).

  2. Déterminer une représentation paramétrique du plan passant par \(A(5; 5; 5)\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}(0; 0; -1)\) et \(\vec{v}(\sqrt{5}; 1; \sqrt{5})\).

Positions relatives

Proposition

  • Deux droites \(D(A, \vec{u})\) et \(\Delta(B, \vec{v})\) : parallèles ssi \(\vec{u}, \vec{v}\) colinéaires ; coplanaires ssi \(\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}\) coplanaires.

  • Deux plans \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) et \(Q(B, \vec{u'}, \vec{v'})\) : parallèles ssi \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u'})=0\) et \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{v'})=0\).

  • Une droite et un plan \(D(A, \vec{u})\), \(P(B, \vec{v}, \vec{w})\) : la droite est parallèle au plan ssi \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=0\).

Exemple

  1. Soient \(M(1; -3; 2)\), \(N(0; -1; 1)\) et \((\Delta) : \begin{cases}x=1+t \\ y=2t \\ z=-1-t\end{cases}\) (\(t \in \mathbb{R}\)). Étudier la position relative de \((MN)\) et \((\Delta)\).

  2. Étudier la position relative des plans \((P): -2x+2y-4z-1=0\) et \((Q): x-y+2z=0\).

  3. Étudier la position relative du plan \((P): 3x-2y+z+5=0\) et de la droite \((D) : \begin{cases}x=2 \\ y=-1+t \\ z=-1+2t\end{cases}\).

Application

On considère les deux plans \((P) : x-y+2z+1=0\) et \((Q) : x-4y+3z=0\).

  1. Prouver que \((P)\) et \((Q)\) sont sécants.

  2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.

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