Série d’exercices

On considère le cube \(ABCDEFGH\). Compléter chacune des égalités suivantes :

1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \ldots\)

2. \(\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HG} = \ldots\)

3. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \ldots\)

4. \(\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AC} = \ldots\)

Soient \(\vec{u}(1; 2; -1)\), \(\vec{v}(3; 0; 2)\) et \(\vec{w}(-2; 1; 4)\) trois vecteurs.

1. Calculer \(2\vec{u} - 3\vec{v} + \vec{w}\).

2. Calculer \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\).

3. Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont-ils coplanaires ?

Soient \(A(1; 2; 3)\), \(B(0; -1; 2)\) et \(C(2; 1; 4)\) trois points dans un repère orthonormé.

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

3. Calculer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).

Soit \(A(1; 2; 0)\) et \(\vec{u}(2; -1; 3)\).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D(A, \vec{u})\).

2. Donner un système d’équations cartésiennes de cette droite.

3. Le point \(M(5; 0; 6)\) appartient-il à \((D)\) ?

Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) dans chacun des cas :

1. \((P)\) passe par \(A(1; 0; -1)\) et a pour vecteurs directeurs \(\vec{u}(2; 1; 0)\) et \(\vec{v}(0; 1; 1)\).

2. \((P)\) passe par les trois points \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 1; 0)\) et \(C(0; 0; 1)\).

On considère les plans \((P): x - 2y + z - 3 = 0\) et \((Q): 2x - 4y + 2z - 1 = 0\).

1. Étudier la position relative de \((P)\) et \((Q)\).

2. Donner une représentation paramétrique de chacun.

Étudier la position relative de la droite \((D)\) et du plan \((P)\) dans chacun des cas :

1. \((D)\) passe par \(A(1; 1; 1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1; 2; 1)\) et \((P): x + y - 3z + 1 = 0\).

2. \((D): \begin{cases}x = 2 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t\end{cases}\) et \((P): 2x + y - z + 4 = 0\).

Soient \(A(1; 0; 2)\), \(B(2; 3; -1)\) et \(C(0; 1; 1)\) trois points.

1. Vérifier que les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

3. Le point \(D(1; 2; 0)\) appartient-il au plan \((ABC)\) ?

On considère les droites \((D_1)\) passant par \(A(1; 0; 1)\) de vecteur directeur \(\vec{u_1}(1; 1; 0)\) et \((D_2)\) passant par \(B(0; 1; 2)\) de vecteur directeur \(\vec{u_2}(2; 1; 1)\).

Étudier la position relative de \((D_1)\) et \((D_2)\) : sont-elles parallèles ? coplanaires ? sécantes ?

Soient \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 1; 0)\), \(C(0; 0; 1)\) et \(D(1; 1; 1)\).

1. Vérifier que les points \(A, B, C, D\) ne sont pas coplanaires.

2. Déterminer le centre de gravité du tétraèdre \(ABCD\) (barycentre avec coefficients \(1\)).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AG)\) où \(G\) est ce centre de gravité.

On considère le plan \((P): x + 2y - z + 3 = 0\) et la droite \((D)\) d’équations \(\begin{cases}x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 1 + t\end{cases}\).

1. Montrer que \((D)\) et \((P)\) sont sécants.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection.

On considère les plans \((P): 2x + y - z = 4\) et \((Q): x - y + z = 1\).

1. Vérifier que les plans \((P)\) et \((Q)\) ne sont pas parallèles.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite intersection \((D) = (P) \cap (Q)\).

3. Donner un vecteur directeur de \((D)\).