Limites SM
Table des matières
Limite d’une fonction numérique
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Notion intuitive de limite
Approche graphique
Définition
(Approche intuitive) Soit \(f\) une fonction et \(a \in \mathbb{R}\) (ou \(a = \pm \infty\)). On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) (réel ou \(\pm \infty\)) quand \(x\) tend vers \(a\), et on écrit
\[\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell,\]
si les valeurs \(f(x)\) se rapprochent d’aussi près qu’on veut de \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche suffisamment de \(a\).
Exemples graphiques
Exemple
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to 2} (3x + 1) = 7\) (limite d’une fonction continue : on substitue).
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\).
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\).
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\).
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\).
\(\bullet\)\(\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\).
Limite en un point
Définition formelle (informelle pour le programme)
Définition
Soit \(f\) définie sur un voisinage de \(a\) (sauf éventuellement en \(a\)).
\[\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \;\Leftrightarrow\; (\forall \varepsilon > 0)(\exists \eta > 0)(\forall x)\;\bigl(0 < |x - a| < \eta \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon\bigr).\]
Limite à gauche, limite à droite
Définition
\[\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \ell \;\Leftrightarrow\; (\forall \varepsilon > 0)(\exists \eta > 0)(\forall x)\;\bigl(0 < x - a < \eta \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon\bigr).\]
\[\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \ell \;\Leftrightarrow\; (\forall \varepsilon > 0)(\exists \eta > 0)(\forall x)\;\bigl(0 < a - x < \eta \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon\bigr).\]
\(f\) admet une limite en \(a\) ssi \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) ; cette valeur commune est alors la limite.
Continuité
Proposition
Si \(f\) est définie en \(a\) et \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\), on dit que \(f\) est continue en \(a\). Les fonctions polynômes, rationnelles, racines (sur leur domaine), \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) sont continues sur leur domaine.
Pour ces fonctions : \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\) (on « substitue »).
Limite en l’infini
Définition
\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell \;\Leftrightarrow\; (\forall \varepsilon > 0)(\exists A \in \mathbb{R})(\forall x > A)\; |f(x) - \ell| < \varepsilon.\]
\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \;\Leftrightarrow\; (\forall B > 0)(\exists A \in \mathbb{R})(\forall x > A)\; f(x) > B.\]
Proposition
(Limites usuelles à l’infini)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty \quad ; \quad \lim\limits_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}\]
\[\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad ; \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \quad ; \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.\]
Opérations sur les limites
Théorème de la somme, du produit et du quotient
Théorème
Soient \(f, g\) deux fonctions et \(a \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}\). Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell_1\) et \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \ell_2\) (avec \(\ell_1, \ell_2\) finis), alors :
\[\lim\limits_{x \to a} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = \ell_1 + \ell_2 \quad ; \quad \lim\limits_{x \to a} \bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = \ell_1 \ell_2.\]
\[\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \quad (\text{si } \ell_2 \neq 0).\]
Limites avec l’infini
Proposition
(Règles avec \(\infty\)) On résume les règles usuelles :
| Somme | Cas |
|---|---|
| \(\ell + \infty = +\infty\) \(\ell + (-\infty) = -\infty\) | si \(\ell\) fini |
| \(+\infty + (+\infty) = +\infty\) | |
| \(-\infty + (-\infty) = -\infty\) | |
| \(+\infty + (-\infty)\) | forme indéterminée |
| Produit | |
|---|---|
| \((\pm \infty) \cdot (\pm \infty) = \pm \infty\) selon signes | |
| \(\ell \cdot \infty = \pm \infty\) selon signes (si \(\ell \neq 0\)) | |
| \(0 \cdot \infty\) | forme indéterminée |
| Quotient | |
|---|---|
| \(\frac{\ell}{\pm \infty} = 0\) (si \(\ell\) fini) | |
| \(\frac{\pm \infty}{\ell} = \pm \infty\) selon signes (si \(\ell \neq 0\)) | |
| \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\frac{0}{0}\) | formes indéterminées |
Quatre formes indéterminées
Remarque
Les formes indéterminées (notation FI) sont :
\[\infty - \infty \quad ; \quad 0 \times \infty \quad ; \quad \frac{0}{0} \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty}.\]
Dans ces cas, on ne peut pas conclure directement. Il faut transformer l’expression pour lever l’indétermination.
Calcul de limites usuelles
Polynômes à l’infini
Théorème
La limite à \(\pm \infty\) d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Pour \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0\) avec \(a_n \neq 0\) :
\[\lim\limits_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} a_n x^n.\]
Exemple
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (3 x^2 - 5 x + 7) = \lim\limits_{x \to +\infty} 3 x^2 = +\infty\).
\(\lim\limits_{x \to -\infty} (-2 x^3 + x^2 - 4) = \lim\limits_{x \to -\infty} (-2 x^3) = +\infty\).
Fonctions rationnelles à l’infini
Théorème
La limite à \(\pm \infty\) d’une fonction rationnelle est celle du rapport des termes de plus haut degré.
Exemple
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 x^2 + x - 1}{x^2 + 5} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 x^2}{x^2} = 2\).
\(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 + x}{x^2 + 1} = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3}{x^2} = \lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty\).
Forme \(\frac{0}{0}\) : factorisation
Méthode
Pour lever une FI \(\frac{0}{0}\) dans un quotient \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) en \(x = a\) : si \(P(a) = Q(a) = 0\), factoriser \((x - a)\) au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.
Exemple
\(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4\).
Forme \(\frac{0}{0}\) ou \(\infty - \infty\) avec racines : quantité conjuguée
Méthode
Pour les fonctions avec racines, multiplier par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine :
\[\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \quad (\text{si} \, a, b \geq 0 \text{ et } \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq 0).\]
Exemple
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x (\sqrt{x+1} + 1)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \dfrac{1}{2}\).
Limites trigonométriques fondamentales
Théorème
(Limites trigonométriques usuelles)
\[\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \quad ; \quad \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1.\]
Exemple
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} 3 \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3\).
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)/(5x) \cdot 5x}{\sin(2x)/(2x) \cdot 2x} = \dfrac{5}{2}\).
Comparaison et encadrement
Théorème de la comparaison
Théorème
Soit \(f\) et \(g\) telles que \(f(x) \leq g(x)\) au voisinage de \(a\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty\).
Théorème des gendarmes (sandwich)
Théorème
(Théorème d’encadrement) Soient \(f, g, h\) telles que \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) au voisinage de \(a\).
Si \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = \ell\) (fini), alors \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell\).
Exemple
Montrer que \(\lim\limits_{x \to 0} x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\).
Exemple
Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
Synthèse
Méthodologie de calcul de limite
-
Substitution directe si la fonction est continue en \(a\).
-
Si on obtient une forme indéterminée, identifier laquelle :
-
\(\infty - \infty\) : mettre en facteur le terme dominant.
-
\(\frac{0}{0}\) : factoriser, simplifier ; ou conjuguer si racines.
-
\(\frac{\infty}{\infty}\) : termes de plus haut degré pour rationnelles, conjuguer pour racines.
-
\(0 \times \infty\) : transformer en quotient.
-
-
Utiliser les limites usuelles (\(\frac{\sin x}{x} \to 1\), etc.).
-
Si nécessaire, appliquer comparaison ou gendarmes.
Récapitulatif des limites usuelles
| Expression | Limite |
|---|---|
| \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) | \(1\) |
| \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\) | \(1\) |
| \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}\) (\(a \neq 0\)) | \(a\) |
| \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n}\) | \(0\) |
| \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^n\) (\(n > 0\)) | \(+\infty\) |
| \(\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\) | \(+\infty\) |
| \(\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\) | \(-\infty\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Substituer dans une FI. Penser que \(\frac{0}{0} = 1\) ou \(\infty - \infty = 0\). Faux !
-
Mauvais signe avec \(-\infty\). \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\), pas \(+\infty\).
-
Limites usuelles : conditions. \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) uniquement en \(x \to 0\) ; en \(x \to +\infty\), la limite est \(0\) (pas \(1\)).
-
Quantité conjuguée mal posée. Multiplier numérateur et dénominateur, pas juste l’un.
-
Gendarmes mal appliqué. Il faut \(g \leq f \leq h\) simultanément, pas séquentiellement.
Fin du chapitre 9 – Limite d’une fonction numérique