Série d’exercices

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (4 x^3 - 2 x^2 + x - 7)\).

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (-3 x^4 + 5 x^3 - 2)\).

3. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x^5 + x^3 - 1)\).

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - x - 6)\).

Calculer :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3 x^2 + 1}{2 x^2 - 5}\).

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 - x + 4}{2 x^2 + 1}\).

3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5 x + 2}{x^2 + 3}\).

4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-2 x^4 + x^2}{3 x^4 - x}\).

Calculer en factorisant :

1. \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\).

2. \(\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}\).

3. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}\).

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^3 - 2 x^2}{x^2}\).

5. \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}\).

Calculer :

1. \(\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\).

2. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}\).

3. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}\).

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)\).

5. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})\).

Calculer :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\).

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\) (attention au signe de \(x\) pour sortir de la racine !).

3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sqrt{x}}{x + 1}\).

4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 3 x} - x - 1)\).

Calculer en utilisant les limites usuelles :

1. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}\).

2. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{\sin(3x)}\).

3. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{x}\).

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{x^2}\).

5. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x \cos x}{x^3}\) (développement utile : \(\sin x = x + O(x^3)\), \(\cos x = 1 + O(x^2)\)).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{\pi - x}\)  (poser \(h = \pi - x\)).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{\pi/2 - x}\).

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin x} - 1}{x}\).

1. Montrer que \(\lim\limits_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\).

2. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x^2 + 1} = 0\).

3. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 x + \sin(3 x)}{x + 1} = 2\).

4. Soit \(f(x) = \dfrac{E(x)}{x}\) pour \(x > 0\) (où \(E\) est la partie entière). Montrer par encadrement que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1\).

1. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 + \sin x) = +\infty\).

2. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x - \cos x) = +\infty\).

3. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sin x}{x} = 1\).

Calculer les limites à gauche et à droite. Conclure si la limite existe.

1. \(f(x) = \dfrac{1}{x - 2}\) en \(x = 2\).

2. \(f(x) = \dfrac{|x|}{x}\) en \(x = 0\).

3. \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{|x - 1|}\) en \(x = 1\).

4. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}\) en \(x = 2\) et en \(x = -2\).

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}\).

1. Déterminer \(\mathcal{D}_f\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\).

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x)\).

4. Montrer que \(f(x) = (x - 1) + \dfrac{4}{x - 1}\) pour \(x \neq 1\).

5. Calculer \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \bigl[f(x) - (x - 1)\bigr]\). Interpréter graphiquement.

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5}\).

1. Montrer que \(f(x)\) est bien défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - x\bigr]\).

3. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} \bigl[f(x) + x\bigr]\).

4. En déduire les asymptotes obliques de la courbe de \(f\) en \(\pm \infty\).