Cours 1ère Bac S EXP

Limites

6 min de lecture · Limite d'une fonction numérique
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Table des matières
  1. Limite d’une fonction en un point
  2. Limite d’une fonction en \(\pm\infty\)
  3. Opérations sur les limites
  4. Limite des fonctions trigonométriques
  5. Limites et ordre

Limite d’une fonction en un point

Définition

Soient \(a, \ell \in \mathbb{R}\) et \(f\) une fonction définie sur un voisinage \(]a-x_0; a+x_0[\) (éventuellement privé de \(\{a\}\)), \(x_0 > 0\).

  • Si \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(a\), on écrit \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell\). Si elle existe, cette limite est unique.

  • Si \(f(x) \to +\infty\) (resp. \(-\infty\)) quand \(x \to a\), on écrit \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\) (resp. \(-\infty\)).

  • La limite à droite (resp. à gauche) en \(a\), notée \(\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) (resp. \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x)\)), est la limite quand \(x\) tend vers \(a\) avec \(x > a\) (resp. \(x < a\)).

  • \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \ell\).

Formes indéterminées : \(\dfrac{0}{0}\), \(\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}\), \(+\infty - \infty\), \(0 \times (\pm\infty)\).

Proposition

On admet les limites de référence suivantes (avec \(n \in \mathbb{N}^*\)) :

  • \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\), \(\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty\).

  • \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\).

  • \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty\).

  • \(\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^n} = +\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair.

Exemple

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x^3+2x^2+x+1}{x^2+3x+2}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x+2}{3x - x^2}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x+2}{3x - x^2}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 - 1}{|x-1|}\)

Application

On considère les fonctions :
\[f(x)=\begin{cases}-x + 1, & x \ge 3 \\ x^2 - 4x + 1, & x < 3\end{cases} \qquad g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{-x+3}, & x \leq 2 \\ 1 - ax^2, & x>2\end{cases}\]

  1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 3^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)\). \(f\) admet-elle une limite en \(3\) ?

  2. Déterminer une valeur de \(a\) pour laquelle \(g\) admet une limite en \(2\).

Limite d’une fonction en \(\pm\infty\)

Proposition

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\), \(k \in \mathbb{R}^*\).

  • \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair.

  • \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{k}{x^n} = 0\).

  • Pour \(P, Q\) deux polynômes de termes de plus haut degré \(ax^n, bx^m\) :
    \[\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{ax^n}{bx^m}.\]

  • Si \(f \ge 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell \ge 0\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\ell}\). Si \(\lim f = +\infty\), alors \(\lim\sqrt{f} = +\infty\). (Idem en \(-\infty\) ou en un point \(a\).)

Exemple

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 +5}{4x^2}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-3x^3 + x}{x^3}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (1 + 5x^2 + 8x)\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (-5x^3 + 1)\)

  5. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 2x + 5}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4 + 2x^3}{3x^3 + 5x^2 + 1}\)

Application

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{(2-\sqrt{3})x^3 - x^2}{2x^2 - 3}\)

  2. \(\lim\limits_{|x| \to +\infty} \dfrac{|x| - 3x}{|x+5|}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{x+1}{x-4}}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{3x^2 - 5x + 1}\)

Opérations sur les limites

Définition

Dans tout ce qui suit, \(a\) est réel ou \(\pm\infty\), et \(\ell, \ell'\) sont réels. Le tableau suivant donne les opérations possibles sur les limites (avec « F.I. » pour forme indéterminée) :

\(\lim f\) \(\lim g\) \(\lim(f+g)\) \(\lim(fg)\) \(\lim(f/g)\)
\(\ell\) \(\ell' \neq 0\) \(\ell + \ell'\) \(\ell\ell'\) \(\ell/\ell'\)
\(\ell>0\) \(-\infty\) \(-\infty\) \(-\infty\) \(0\)
\(\ell<0\) \(+\infty\) \(+\infty\) \(-\infty\) \(0\)
\(+\infty\) \(+\infty\) \(+\infty\) \(+\infty\) F.I.
\(-\infty\) \(-\infty\) \(-\infty\) \(+\infty\) F.I.
\(+\infty\) \(-\infty\) F.I. \(-\infty\) F.I.
\(0\) \(\pm\infty\) \(\pm\infty\) F.I. \(0\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(0\) F.I.
\(\ell \neq 0\) \(0\) \(\ell\) \(0\) \(\pm\infty\)
Exemple

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to 0^+} \left(3x + 7 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-3 + \dfrac{1}{x}\right)\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+5x -3}}{x}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 - x + 3} - 2x + 1\right)\)

Application

Calculer :

  1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1 + \frac{4}{x^3}}{2 - x^5}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} + x\right)\)

Limite des fonctions trigonométriques

Proposition

  • \(\lim\limits_{x \to a} \cos(x) = \cos(a)\) et \(\lim\limits_{x \to a} \sin(x) = \sin(a)\).

  • \(\lim\limits_{x \to a} \tan(x) = \tan(a)\) si \(a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\).

  • \(\lim\limits_{x \to \pi/2^-}\tan(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to \pi/2^+}\tan(x) = -\infty\).

  • \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) n’admettent pas de limite en \(\pm\infty\).

  • Pour \(a \neq 0\) : \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(ax)}{ax} = 1\), \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan(ax)}{ax} = 1\), \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos(ax)}{(ax)^2} = \dfrac{1}{2}\).

Exemple

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{\tan(5x)}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{x}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1 - \cos(\sqrt{x})}{x}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\tan(\pi x)}{x-1}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{4x}\)

Application

Calculer \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{4}}\).

Limites et ordre

Proposition

Soient \(a, \ell \in \mathbb{R}\) et \(f, g, h\) des fonctions numériques. On suppose les inégalités vérifiées au voisinage de \(a\) (qui peut être \(\pm\infty\) ou un réel).

  • Si \(g \le f\) et \(\lim g = +\infty\), alors \(\lim f = +\infty\).

  • Si \(f \le g\) et \(\lim g = -\infty\), alors \(\lim f = -\infty\).

  • Si \(|f - \ell| \le g\) et \(\lim g = 0\), alors \(\lim f = \ell\).

  • Théorème des gendarmes : si \(g \le f \le h\) et \(\lim g = \lim h = \ell\), alors \(\lim f = \ell\).

Exemple

  1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{2 - \cos x} \le 1\). En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{2 - \cos x}\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{x^3}{2 - \cos x}\).

  2. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) + 2\). Vérifier que \(|f(x) - 2| \le |x|\) et en déduire \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\).

Application

Soit \(f(x) = \dfrac{\sin x + \cos x}{x}\) pour \(x > 0\).

  1. Montrer que pour tout \(x > 0\), \(\left|f(x)\right| \le \dfrac{2}{x}\).

  2. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

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