Série d’exercices

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\)

2. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}\)

3. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}\)

4. \(\lim\limits_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}\)

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{x+1}{x-1}\)

2. \(\lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{x+1}{x-1}\)

3. \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2}\)

4. \(\lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{(x+2)^3}\)

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ ax + 3 & \text{si } x \ge 1\end{cases}\). Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(f\) admette une limite en \(1\).

Calculer les limites en \(\pm\infty\) :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 5}\)

2. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 4}\)

3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)\)

4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - x} + x)\)

Calculer les limites trigonométriques suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{2x}\)

2. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}\)

3. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}\)

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \cdot \tan x}{x^2}\)

5. \(\lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}\)

6. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x^2)}{x}\)

Soit \(f(x) = \dfrac{x + \sin x}{x}\) pour \(x \neq 0\).

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\).

2. Montrer que pour \(x > 0\), \(\left|f(x) - 1\right| \le \dfrac{1}{x}\).

3. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4} - 2}{x}\)

2. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}\)

3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 3x + 1})\)

4. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}\)

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x \cdot \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\) pour \(x \neq 0\).

1. Vérifier que \(|f(x)| \le |x|\) pour tout \(x \neq 0\).

2. En déduire \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\).

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x}\) pour \(x \neq 0\).

Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

Soit \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Simplifier \(f(x)\) pour \(x \neq \pm 3\).

3. Calculer les limites de \(f\) en \(3\) et en \(-3\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x + \dfrac{\sin x}{x^2 + 1}\).

1. Montrer que \(|f(x) - x| \le \dfrac{1}{x^2 + 1}\).

2. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) - x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

Soit \(f\) définie sur \(]0, +\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{\cos x + 2x}{x + 1}\).

1. Montrer que pour tout \(x > 0\), \(\dfrac{2x - 1}{x + 1} \le f(x) \le \dfrac{2x + 1}{x + 1}\).

2. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).