Produit scalaire dans le plan SM
Table des matières
Produit scalaire analytique
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Rappels et expression analytique
Rappels sur le produit scalaire (tronc commun)
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est défini par :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \left\|\vec{u}\right\| \cdot \left\|\vec{v}\right\| \cdot \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).\]
Si \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\), on convient \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Proposition
Propriétés du produit scalaire :
(a) Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
(b) Bilinéarité : \((\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) \cdot \vec{w} = \alpha (\vec{u} \cdot \vec{w}) + \beta (\vec{v} \cdot \vec{w})\).
(c) Carré scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \left\|\vec{u}\right\|^2\), noté aussi \(\vec{u}^{\,2}\).
(d) Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Leftrightarrow\; \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) (avec convention pour le vecteur nul).
Expression analytique dans une base orthonormée
Théorème
Soit \((\vec{i}, \vec{j})\) une base orthonormée. Si \(\vec{u}(x, y)\) et \(\vec{v}(x', y')\) dans cette base, alors :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'.\]
Démonstration
\(\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}\) et \(\vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j}\). Par bilinéarité :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' (\vec{i} \cdot \vec{i}) + x y' (\vec{i} \cdot \vec{j}) + y x' (\vec{j} \cdot \vec{i}) + y y' (\vec{j} \cdot \vec{j}).\]
Or \((\vec{i}, \vec{j})\) orthonormée : \(\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1\) et \(\vec{i} \cdot \vec{j} = 0\).
Donc \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'\). \(\square\)
Norme et distance
Proposition
Soit \((\vec{i}, \vec{j})\) orthonormée. Pour \(\vec{u}(x, y)\) et deux points \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) :
\[\left\|\vec{u}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2} \quad ; \quad AB = \left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.\]
Identités remarquables
Proposition
Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) :
\[\left\|\vec{u} + \vec{v}\right\|^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \left\|\vec{v}\right\|^2\]
\[\left\|\vec{u} - \vec{v}\right\|^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \left\|\vec{v}\right\|^2\]
\[(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \left\|\vec{u}\right\|^2 - \left\|\vec{v}\right\|^2\]
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\left\|\vec{u} + \vec{v}\right\|^2 - \left\|\vec{u}\right\|^2 - \left\|\vec{v}\right\|^2\right) \quad \text{(identité de polarisation)}\]
Parallélisme, orthogonalité, angles
Orthogonalité de deux vecteurs
Théorème
Dans une base orthonormée, \(\vec{u}(x, y) \perp \vec{v}(x', y') \;\Leftrightarrow\; x x' + y y' = 0\).
Calcul d’un angle
Proposition
Soient \(\vec{u}, \vec{v}\) deux vecteurs non nuls. L’angle \(\theta = \widehat{(\vec{u}, \vec{v})}\) vérifie :
\[\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\|\vec{u}\right\| \cdot \left\|\vec{v}\right\|}.\]
En particulier : \(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Leftrightarrow\; \cos \theta = 0\).
Exemple
Soient \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(8, 3)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
Déterminant et parallélisme
Proposition
Dans une base orthonormée, le déterminant de \(\vec{u}(x, y)\) et \(\vec{v}(x', y')\) est :
\[\det(\vec{u}, \vec{v}) = x y' - y x'.\]
Alors : \(\,\vec{u} \parallel \vec{v} \;\Leftrightarrow\; \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\) (colinéarité).
Équations cartésienne et paramétrique d’une droite
Vecteur directeur, vecteur normal
Définition
Soit \((D)\) une droite du plan. Un vecteur non nul \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \((D)\) si \(\vec{u}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) pour deux points \(A, B\) distincts de \((D)\).
Un vecteur non nul \(\vec{n}\) est un vecteur normal de \((D)\) si \(\vec{n} \perp \vec{u}\) pour tout vecteur directeur \(\vec{u}\).
Équation cartésienne
Théorème
Dans un repère orthonormé, une droite \((D)\) admet une équation cartésienne de la forme :
\[a x + b y + c = 0 \quad \text{avec} \quad (a, b) \neq (0, 0).\]
Le vecteur \(\vec{n}(a, b)\) est alors un vecteur normal à \((D)\) ; et \(\vec{u}(-b, a)\) est un vecteur directeur.
Réciproquement, l’ensemble des points \(M(x, y)\) vérifiant \(a x + b y + c = 0\) (avec \((a, b) \neq (0,0)\)) est une droite.
Méthode
Pour écrire l’équation cartésienne d’une droite \((D)\) :
\(\bullet\)Connaissant \(A(x_A, y_A)\) et un vecteur normal \(\vec{n}(a, b)\) : \(a (x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).
\(\bullet\)Connaissant \(A(x_A, y_A)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha, \beta)\) : le vecteur normal est \((- \beta, \alpha)\) : équation \(-\beta(x - x_A) + \alpha(y - y_A) = 0\).
\(\bullet\)Connaissant deux points \(A\) et \(B\) : prendre \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\).
Exemple
Écrire l’équation cartésienne de la droite passant par \(A(2, -3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(4, 1)\).
Représentation paramétrique
Théorème
Une droite \((D)\) passant par \(A(x_A, y_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha, \beta)\) admet la représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.\]
Méthode
Passage cartésien \(\to\) paramétrique.
Trouver un point \(A\) sur la droite (poser \(x = 0\) ou \(y = 0\) par ex.), puis lire \(\vec{u}(-b, a)\) depuis \(ax + by + c = 0\).
Passage paramétrique \(\to\) cartésien.
Éliminer \(t\) entre les deux équations.
Exemple
La droite \(\,(D) : 2x - 3y + 6 = 0\,\) admet :
\(\bullet\) Vecteur normal : \(\vec{n}(2, -3)\).
\(\bullet\) Vecteur directeur : \(\vec{u}(3, 2)\).
\(\bullet\) Point : \(A(0, 2)\) (en prenant \(x = 0\) : \(-3y + 6 = 0\)).
\(\bullet\) Paramétrique : \(\begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}\).
Distance d’un point à une droite
Théorème
La distance du point \(A(x_0, y_0)\) à la droite \((D) : a x + b y + c = 0\) (dans un repère orthonormé) est :
\[d(A, (D)) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\]
Exemple
Distance du point \(A(3, -1)\) à la droite \(\,(D) : 3x - 4y + 5 = 0\) :
\[d = \frac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|9 + 4 + 5|}{5} = \frac{18}{5}.\]
Cercles dans le plan
Équation cartésienne d’un cercle
Théorème
Dans un repère orthonormé, le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\Omega(a, b)\) et de rayon \(r > 0\) a pour équation :
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.\]
Démonstration
\(M(x, y) \in \mathcal{C} \Leftrightarrow \Omega M = r \Leftrightarrow \Omega M^2 = r^2 \Leftrightarrow (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). \(\square\)
Forme développée
Proposition
Toute équation de la forme
\[x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y + c = 0\]
représente :
-
Un cercle de centre \(\Omega(a, b)\) et rayon \(r = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\) si \(a^2 + b^2 - c > 0\).
-
Un point \(\{\Omega(a, b)\}\) si \(a^2 + b^2 - c = 0\).
-
L’ensemble vide si \(a^2 + b^2 - c < 0\).
Méthode
Pour reconnaître un cercle à partir de l’équation développée, on procède par complétion du carré :
\[x^2 - 2ax + y^2 - 2by + c = 0 \;\Leftrightarrow\; (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 - c.\]
Exemple
Étudier l’équation \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\).
Cercle de diamètre \([AB]\)
Théorème
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. Le cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Démonstration
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Le cercle de diamètre \([AB]\) a centre \(I\) et rayon \(\dfrac{AB}{2}\).
En décomposant \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}\) (car \(I\) milieu) :
\[\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = \overrightarrow{MI}^{\,2} - \overrightarrow{IA}^{\,2} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}.\]
Donc \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \;\Leftrightarrow\; MI^2 = \dfrac{AB^2}{4} \;\Leftrightarrow\; MI = \dfrac{AB}{2}\), ce qui caractérise les points du cercle de centre \(I\) et rayon \(\dfrac{AB}{2}\). \(\square\)
Exemple
Équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1, 2)\), \(B(5, 6)\).
Ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k\)
Théorème
Soient \(A\), \(B\) deux points distincts, \(I\) le milieu de \([AB]\), et \(k \in \mathbb{R}\). L’ensemble des \(M\) vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k\) est :
\[\bigl\{\, M \;|\; MI^2 = k + \tfrac{AB^2}{4}\,\bigr\}.\]
-
Cercle de centre \(I\) et rayon \(\sqrt{k + \tfrac{AB^2}{4}}\) si \(k + \tfrac{AB^2}{4} > 0\) ;
-
Point \(\{I\}\) si \(k + \tfrac{AB^2}{4} = 0\) ;
-
Ensemble vide si \(k + \tfrac{AB^2}{4} < 0\).
Démonstration
On utilise la décomposition vectorielle :
\[\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = \overrightarrow{MI}^{\,2} + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}.\]
Or \(I\) milieu de \([AB]\) donne \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -\left\|\overrightarrow{IA}\right\|^2 = -\tfrac{AB^2}{4}\).
Donc \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \tfrac{AB^2}{4} = k\), soit \(MI^2 = k + \tfrac{AB^2}{4}\). \(\square\)
Synthèse
Récapitulatif
| Objet | Caractérisation analytique |
|---|---|
| \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) (BON) | \(x x' + y y'\) |
| \(\left\|\vec{u}\right\|\) (BON) | \(\sqrt{x^2 + y^2}\) |
| \(AB\) | \(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) |
| \(\vec{u} \perp \vec{v}\) | \(x x' + y y' = 0\) |
| \(\vec{u} \parallel \vec{v}\) | \(\det = x y' - y x' = 0\) |
| Droite \((D)\) | \(a x + b y + c = 0\) ; normal \((a,b)\), directeur \((-b, a)\) |
| \(d(A, (D))\) | \(\dfrac{|a x_A + b y_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) |
| Cercle centre \(\Omega(a, b)\), rayon \(r\) | \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) |
| Diamètre \([AB]\) | \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) |
| \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k\) | Cercle centre \(I\) (milieu \(AB\)), rayon \(\sqrt{k + \tfrac{AB^2}{4}}\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\) valable uniquement en BON. En base non orthonormée, ce n’est pas vrai.
-
Confondre vecteur directeur et vecteur normal. Pour \((D) : ax + by + c = 0\), \(\vec{n}(a, b)\) est normal, pas directeur.
-
Distance avec valeur absolue. Toujours mettre les barres : \(|ax_A + by_A + c|\), pas l’expression brute.
-
Discriminant négatif pour le cercle. Si \(a^2 + b^2 - c < 0\), ce n’est pas un cercle (ensemble vide).
-
Théorème de l’angle inscrit \(\Rightarrow\) produit scalaire nul. Bien vérifier \(A \neq M \neq B\).
Fin du chapitre 6 – Produit scalaire analytique