Série d’exercices

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2, -1)\), \(B(4, 3)\), \(C(-1, 5)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}\).

2. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\), \(BC\).

3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

4. Déterminer la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) (à \(0{,}1°\) près).

1. Trouver \(m\) pour que \(\vec{u}(3, m)\) et \(\vec{v}(4, -2)\) soient orthogonaux.

2. Trouver \(m\) pour que \(\vec{u}(m, 1)\) et \(\vec{v}(2m, -3)\) soient colinéaires.

3. Soient \(\vec{u}(2, 3)\). Donner un vecteur unitaire de même direction et un vecteur unitaire orthogonal à \(\vec{u}\).

1. Écrire l’équation cartésienne de la droite \((D_1)\) passant par \(A(3, -2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2, 5)\).

2. Écrire l’équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite \((D_2)\) passant par \(A(1, 4)\) et \(B(-3, 6)\).

3. La droite \((D_3) : 4x - 3y + 12 = 0\). Donner un vecteur normal, un vecteur directeur, et un point.

4. Donner une représentation paramétrique de \((D_3)\) ; puis revenir à l’équation cartésienne.

1. Étudier la position relative des droites :
   \[(D_1) : 2x - 3y + 1 = 0 \quad \text{et} \quad (D_2) : 4x - 6y - 5 = 0.\]

2. Étudier la position relative de :
   \[(D_3) : x + 2y - 4 = 0 \quad \text{et} \quad (D_4) : 3x - y + 1 = 0.\]
   Préciser les coordonnées du point d’intersection.

3. Soit \((D) : 3x + 4y - 12 = 0\). Trouver l’équation de la perpendiculaire à \((D)\) passant par \(A(2, 5)\).

1. Calculer \(d(A, (D))\) pour \(A(1, -2)\) et \((D) : 5x - 12y + 7 = 0\).

2. Soient \(A(3, 0)\), \(B(0, 4)\). Trouver \(d(O, (AB))\).

3. Soit \((D) : x - 2y + 5 = 0\) et \(A(3, 1)\). Trouver les coordonnées du projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\).

1. Écrire l’équation du cercle de centre \(\Omega(3, -1)\) et de rayon \(4\).

2. Reconnaître la nature de l’ensemble d’équation \(x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0\). Si c’est un cercle, donner centre et rayon.

3. Idem pour \(x^2 + y^2 + 4x - 8y + 25 = 0\).

4. Idem pour \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0\).

Soient \(A(0, 0)\) et \(B(4, 0)\).

1. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

2. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 5\).

3. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -3\).

4. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -4\).

Soit le cercle \(\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\) et la droite \((D) : x + y - 4 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \(\mathcal{C}\).

2. Calculer \(d(\Omega, (D))\). Comparer avec \(r\). En déduire la position relative.

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection (si elles existent).

Soient \(A(1, 3)\) et \(B(5, -1)\).

1. Déterminer l’ensemble des \(M\) tels que \(MA = MB\).

2. Reconnaître géométriquement cet ensemble.

Soient \(A(-2, 0)\) et \(B(2, 0)\) et \(I\) le milieu de \([AB]\).

1. Montrer que \(MA^2 + MB^2 = 2 MI^2 + \tfrac{AB^2}{2}\).

2. Déterminer le lieu des \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 18\).

Soit \(\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) et \(A(8, 1)\).

1. Vérifier que \(A \in \mathcal{C}\).

2. Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) en \(A\).

On considère le cercle \(\mathcal{C}\) d’équation \(x^2 + y^2 - 8x + 2y + 7 = 0\) et la droite \((D) : 2x + y - 4 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \(\mathcal{C}\).

2. Calculer \(d(\Omega, (D))\). Étudier la position relative.

3. Si la droite et le cercle se coupent, donner les points d’intersection.

4. Déterminer l’équation de la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((D)\).

Soit \(ABC\) un triangle avec \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(2, 4)\).

1. Écrire l’équation de chacune des trois hauteurs.

2. Montrer qu’elles sont concourantes en un point \(H\) et donner ses coordonnées (orthocentre).

3. Calculer \(\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB}\). Que peut-on en déduire ?

Soit \(ABC\) un triangle avec \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\), \(C(4, 6)\).

1. Déterminer les médiatrices de \([AB]\) et \([AC]\).

2. En déduire le centre \(\Omega\) du cercle circonscrit.

3. Calculer le rayon \(R\).

4. Donner l’équation du cercle circonscrit.