Cours 1ère Bac S EXP

Produit scalaire dans le plan

8 min de lecture · Étude analytique du produit scalaire et applications
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Table des matières
  1. Le produit scalaire dans le plan
  2. Expression analytique du produit scalaire
  3. Droite dans le plan
  4. Étude analytique d’un cercle

Le produit scalaire dans le plan

Définition

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.

  • Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le réel : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})\).

  • Le carré scalaire de \(\vec{u}\) est \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\).

  • Lorsque \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls : \(\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).

Exemple

Soit \(ABC\) un triangle rectangle isocèle en \(B\) tel que \(AB = 2\), \(AC = \sqrt{8}\) et \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).

  2. Que peut-on en déduire pour \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ?

Application

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan tels que \(AB = 3\), \(AC = 4\) et \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi]\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

  2. En déduire la longueur \(BC\) en utilisant l’identité \(BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2\).

Expression analytique du produit scalaire

Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

Définition

Une base \((\vec{i}, \vec{j})\) est dite orthonormée si \(\vec{i}\cdot\vec{j} = 0\) et \(\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1\). Le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\) est dit orthonormé direct si la base est orthonormée et \((\vec{i}, \vec{j}) \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\).

Proposition

Soient \(\vec{u}(x;y)\), \(\vec{v}(x';y')\) deux vecteurs du plan, \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) deux points.

  • Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\).

  • Orthogonalité : \(\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\).

  • Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

  • Distance : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

  • Cosinus et sinus de l’angle orienté : si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls et \(\theta = (\widehat{\vec{u};\vec{v}})\),
    \[\cos\theta = \dfrac{xx' + yy'}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} \quad\text{et}\quad \sin\theta = \dfrac{xy' - x'y}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.\]

  • Aire d’un triangle : l’aire du triangle \(ABC\) est \(S = \dfrac{|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|}{2}\) avec \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y\).

Exemple

On considère les points \(A(-3;1)\), \(B(1;1)\) et \(C(-5;-1)\) et les vecteurs \(\vec{u}(-\sqrt{3};-3)\) et \(\vec{v}(-1;\sqrt{3})\).

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) et \(\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\). En déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) où \(\theta = (\widehat{\vec{u};\vec{v}})\), puis la valeur de \(\theta\).

  2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

  3. En déduire l’aire du triangle \(ABC\) et la mesure principale de l’angle \((\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\).

Application

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) avec \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-1;2)\).

  2. Soient \(\vec{u}=(\sqrt{3}-1)\vec{i}-\vec{j}\) et \(\vec{v}=(\sqrt{3}+1)\vec{i}+2\vec{j}\). Montrer que \(\vec{u}\perp\vec{v}\).

  3. Déterminer \(m \in \mathbb{R}\) pour que \(\vec{u}(3;-1+m)\) et \(\vec{v}(2-m;5)\) soient orthogonaux.

  4. Soient \(A(-3;1)\), \(B(1;1)\) et \(C(-3;5)\). Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\) et déterminer la nature du triangle \(ABC\).

Droite dans le plan

Définition

Soit \((D) = D(A;\vec{u})\) une droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\). Tout vecteur non nul orthogonal à \(\vec{u}\) est appelé vecteur normal à \((D)\).

Proposition

Soient \((D)\) d’équation \(ax + by + c = 0\), \(A(x_A;y_A)\) un point et \(\vec{n}(a;b)\) un vecteur normal.

  • Vecteurs caractéristiques : \(\vec{n}(a;b)\) est normal à \((D)\) ; \(\vec{u}(-b;a)\) est directeur.

  • Équation par point + normal : \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).

  • Positions relatives : pour deux droites \((D)\) et \((D')\) de vecteurs normaux \(\vec{n}, \vec{n}'\) :
    \[(D)\perp(D') \Leftrightarrow \vec{n}\cdot\vec{n}' = 0, \qquad (D)\parallel(D') \Leftrightarrow \det(\vec{n},\vec{n}') = 0.\]

  • Distance d’un point à une droite : \(d(A;(D)) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).

Exemple

On considère \((D): 4x + 3y + 1 = 0\) et \((D'): x - 2y + 8 = 0\).

  1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur à \((D)\), puis à \((D')\).

  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite \(\Delta\) passant par \(A(1;2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(5;3)\).

  3. Étudier la position relative de \((D)\) et \((D')\).

  4. Calculer \(d(A;(D))\) avec \(A(2;1)\), et \(d(B;(D))\) avec \(B(-1;1)\). Que constate-t-on pour \(B\) ?

  5. Soit \(E(-3;5)\) et \(H\) son projeté orthogonal sur \((D')\). Calculer \(d(E;(D'))\) et déterminer les coordonnées de \(H\).

Application

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(2;3)\) de vecteur normal \(\vec{n}(2;-1)\).

  2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment \([AB]\) avec \(A(3;-1)\) et \(B(-1;5)\).

  3. Étudier la position relative de \((D_1):2x + y - 1 = 0\) et \((D_2): -x + 2y + 3 = 0\).

Étude analytique d’un cercle

Définition

Le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(R > 0\) est l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\Omega M = R\).
Une tangente à \((\mathcal{C})\) au point \(A \in (\mathcal{C})\) est une droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((\Omega A)\).

Proposition

Soient \((\mathcal{C})\) un cercle d’équation \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) (avec \(a^2 + b^2 - 4c > 0\)), de centre \(\Omega(-a/2;-b/2)\) et de rayon \(R\), et \(M(x_0;y_0)\) un point.

  • Équation par centre et rayon : \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), soit \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2+b^2-R^2) = 0\).

  • Équation par diamètre \([AB]\) : \((x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} = 0\).

  • Représentation paramétrique : \(\begin{cases} x = a + R\cos\theta \\ y = b + R\sin\theta \end{cases}\) avec \(\theta \in \mathbb{R}\).

  • Position d’un point : \(M \in (\mathcal{C}) \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 + ax_0 + by_0 + c = 0\) ; \(M\) est intérieur ssi \(< 0\) ; extérieur ssi \(> 0\).

  • Position d’une droite \((D)\) par rapport à \((\mathcal{C})\) : comparer \(d(\Omega;(D))\) à \(R\) (extérieure si \(>\), tangente si \(=\), sécante si \(<\)).

  • Tangente en \(A \in (\mathcal{C})\) : \((D)\) tangente \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{A\Omega} = 0\) pour tout \(M \in (D)\).

Exemple

On considère le cercle \((\mathcal{C}): x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) et le cercle \((\mathcal{C}'): x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0\).

  1. Déterminer le centre et le rayon de \((\mathcal{C})\) et de \((\mathcal{C}')\).

  2. Vérifier que \(A(2;4) \in (\mathcal{C})\) et déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).

  3. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C}')\).

  4. Étudier la position relative de \((\mathcal{C})\) et de la droite \((D): x + y + 2 = 0\). En cas de sécante, donner les coordonnées des points d’intersection.

Application

  1. Déterminer une équation du cercle de centre \(\Omega(-2;3)\) et de rayon \(4\).

  2. Déterminer une équation du cercle de centre \(A(2;3)\) passant par \(B(1;-3)\).

  3. Pour chaque équation, indiquer si elle représente un cercle (et préciser centre et rayon), un point, ou l’ensemble vide :

    • \(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0\)

    • \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0\)

    • \(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0\)

    • \(x^2 - x + y^2 + 3y - 4 = 0\)

  4. Soient \(A(-1;2)\) et \(B(-5;4)\). Déterminer une équation du cercle de diamètre \([AB]\) par deux méthodes différentes.

Exercice n°1

Dans un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère les points \(A(2;-1)\), \(B(-4;-3)\), \(C(1;-3)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\cos(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\) et \(\sin(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\). En déduire la mesure principale de l’angle.

  2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(B\) et perpendiculaire à \((AC)\).

  4. Soit \((\mathcal{C}): x^2 + y^2 + 2x + 4y - 5 = 0\). Déterminer son centre et son rayon. Vérifier que \((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\).

  5. Donner une équation cartésienne de la tangente \(\Delta\) à \((\mathcal{C})\) en \(A\), puis une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).

  6. Étudier la position relative de \((\mathcal{C})\) et \((D)\). Donner les coordonnées des points d’intersection s’ils existent.

  7. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 4y - 5 < 0 \\ x + 2y + 10 \geq 0 \end{cases}\).

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