Série d’exercices

Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) dans chacun des cas suivants :

1. \(\vec{u}(3; -2)\), \(\vec{v}(1; 4)\).

2. \(\vec{u}(\sqrt{2}; -1)\), \(\vec{v}(\sqrt{2}; 1)\).

3. \(\vec{u}(2; 5)\), \(\vec{v}(-5; 2)\).

4. \(\vec{u}(0; 3)\), \(\vec{v}(4; 0)\).

Déterminer la valeur de \(m\) pour que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux dans chacun des cas :

1. \(\vec{u}(m; 3)\), \(\vec{v}(2; m+1)\).

2. \(\vec{u}(2m-1; 4)\), \(\vec{v}(3; m)\).

On considère les points \(A(1; 2)\), \(B(4; -1)\) et \(C(0; 3)\).

1. Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\).

2. Déterminer la nature du triangle \(ABC\).

3. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et l’aire du triangle \(ABC\).

On considère les vecteurs \(\vec{u}(1; \sqrt{3})\) et \(\vec{v}(\sqrt{3}; -1)\). Soit \(\theta\) la mesure principale de l’angle \((\widehat{\vec{u}; \vec{v}})\).

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) et \(\det(\vec{u}, \vec{v})\).

2. En déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

3. Donner la valeur de \(\theta\).

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) dans chacun des cas :

1. \((D)\) passe par \(A(2; -3)\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1; 2)\).

2. \((D)\) est la médiatrice de \([AB]\) avec \(A(1; 4)\) et \(B(5; -2)\).

3. \((D)\) est perpendiculaire à \((D'): 2x - 3y + 1 = 0\) et passe par \(C(0; 0)\).

On considère les droites \((D_1): x + 2y - 5 = 0\) et \((D_2): 2x - y + 3 = 0\).

1. Déterminer un vecteur normal à chacune des droites.

2. Étudier la position relative de \((D_1)\) et \((D_2)\).

3. Calculer la distance du point \(A(1; 1)\) à chacune des droites.

Déterminer une équation du cercle \((\mathcal{C})\) dans chacun des cas :

1. \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(2; -1)\) et de rayon \(3\).

2. \((\mathcal{C})\) de diamètre \([AB]\) avec \(A(1; 0)\) et \(B(5; 4)\).

3. \((\mathcal{C})\) passant par les points \(A(0; 0)\), \(B(4; 0)\) et \(C(0; 2)\).

Pour chacune des équations suivantes, dire si elle représente un cercle. Le cas échéant, préciser son centre et son rayon.

1. \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\).

2. \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0\).

3. \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 = 0\).

4. \(x^2 + y^2 + x - 2y - 1 = 0\).

On considère le cercle \((\mathcal{C}): x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0\) et la droite \((D): x + y - 3 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((\mathcal{C})\).

2. Calculer \(d(\Omega; (D))\).

3. En déduire la position relative de \((\mathcal{C})\) et \((D)\). Donner les coordonnées des points d’intersection s’ils existent.

On considère le cercle \((\mathcal{C})\) d’équation \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0\).

1. Vérifier que le point \(A(5; 4)\) appartient à \((\mathcal{C})\).

2. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).

3. Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).

Résoudre graphiquement les inéquations et systèmes suivants :

1. \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 \le 0\).

2. \(\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x \le 3 \\ x + y - 1 \ge 0\end{cases}\).

Dans un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère \(A(0; 2)\), \(B(4; 0)\) et \(C(-1; -1)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\cos(\widehat{\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}})\).

2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

3. Déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

4. Étudier la position relative de ce cercle et de la droite \((BC)\).