Produit vectoriel SM
Table des matières
Produit vectoriel
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Définition du produit vectoriel
Repère orthonormé direct
Définition
Un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est dit direct si l’orientation \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) correspond à la règle de la main droite (pouce/index/majeur).
Définition vectorielle
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel de \(\vec{u}\) par \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), est le vecteur défini par :
-
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\).
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Sinon, \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est l’unique vecteur tel que :
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\(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\) ;
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\(\left\|\vec{u} \wedge \vec{v}\right\| = \left\|\vec{u}\right\| \cdot \left\|\vec{v}\right\| \cdot |\sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})|\) ;
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\((\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})\) forme un trièdre direct.
-
Expression analytique en BOND
Théorème
Dans une base orthonormée directe \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x', y', z')\). Alors :
\[\vec{u} \wedge \vec{v} = \bigl(y z' - z y',\; z x' - x z',\; x y' - y x'\bigr).\]
On peut le mémoriser par le déterminant formel :
\[\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & x & x' \\ \vec{j} & y & y' \\ \vec{k} & z & z' \end{vmatrix} = (y z' - z y') \vec{i} + (z x' - x z') \vec{j} + (x y' - y x') \vec{k}.\]
Exemple
Soient \(\vec{u}(1, 2, 3)\) et \(\vec{v}(4, -1, 2)\). Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\).
Propriétés du produit vectoriel
Proposition
Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\) :
(a) Antisymétrie : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\). En particulier, \(\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}\).
(b) Bilinéarité : \((\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) \wedge \vec{w} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{w}) + \beta (\vec{v} \wedge \vec{w})\), et symétriquement à droite.
(c) Colinéarité : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \;\Leftrightarrow\; \vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
(d) Orthogonalité : \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
(e) Norme : \(\left\|\vec{u} \wedge \vec{v}\right\|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2 \left\|\vec{v}\right\|^2\) (identité de Lagrange).
Remarque
Le produit vectoriel n’est pas associatif en général : \(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) \neq (\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w}\).
Applications géométriques
Aire d’un triangle et d’un parallélogramme
Théorème
Soient \(A, B, C\) trois points de l’espace.
\(\bullet\)L’aire du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est :
\[\mathcal{A}_{\text{parallélogramme}} = \left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\|.\]
\(\bullet\)L’aire du triangle \(ABC\) est :
\[\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\|.\]
Exemple
Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 1, 1)\), \(C(1, 3, 0)\).
Équation cartésienne d’un plan défini par 3 points
Méthode
Pour trouver l’équation cartésienne du plan \((ABC)\) :
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
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Calculer \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) : c’est un vecteur normal du plan.
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Écrire l’équation \(\vec{n} \cdot (M - A) = 0\), i.e. \(n_1 (x - x_A) + n_2 (y - y_A) + n_3 (z - z_A) = 0\).
Exemple
Équation du plan \((ABC)\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 1, 1)\), \(C(1, 3, 0)\).
Volume d’un tétraèdre
Théorème
Le volume du tétraèdre \(ABCD\) est :
\[V_{ABCD} = \frac{1}{6} \bigl| (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \bigr|.\]
Remarque
Le produit \((\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}\) s’appelle produit mixte. Sa valeur absolue donne le volume du parallélépipède construit sur \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\).
Analytiquement, le produit mixte est le déterminant \(3 \times 3\) des coordonnées des trois vecteurs.
Exemple
Volume du tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(0,0,0)\), \(B(2, 1, 1)\), \(C(1, 3, 0)\), \(D(1, 1, 4)\).
Distance d’un point à une droite
Théorème
Soit \((D)\) une droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\), et \(M\) un point. La distance de \(M\) à \((D)\) est :
\[d(M, (D)) = \frac{\left\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|}.\]
Synthèse
Récapitulatif
| Objet | Formule (BOND) |
|---|---|
| \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) | \((yz' - zy',\, zx' - xz',\, xy' - yx')\) |
| \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\) | antisymétrie |
| \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\) | ssi \(\vec{u}, \vec{v}\) colinéaires |
| \(\left\|\vec{u} \wedge \vec{v}\right\|\) | \(\left\|\vec{u}\right\| \left\|\vec{v}\right\| |\sin \theta|\) |
| Aire triangle \(ABC\) | \(\dfrac{1}{2} \left\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\right\|\) |
| Vecteur normal de \((ABC)\) | \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) |
| Volume tétraèdre | \(\dfrac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|\) |
| \(d(M, (D))\) | \(\dfrac{\left\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|}\) |
Pièges classiques
Remarque
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Antisymétrie. \(\vec{u} \wedge \vec{v} \neq \vec{v} \wedge \vec{u}\) (signe opposé).
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Non-associativité. \(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) \neq (\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w}\).
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BOND obligatoire. La formule analytique exige une base orthonormée directe.
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Confondre wedge et produit scalaire. \(\wedge\) donne un vecteur, \(\cdot\) donne un scalaire.
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Volume sans valeur absolue. Penser à mettre la valeur absolue sur le produit mixte.
Fin du chapitre 8 – Produit vectoriel