Série d’exercices

Calculer \(\vec{u} \times \vec{v}\) :

1. \(\vec{u}(1, 2, 3)\), \(\vec{v}(2, -1, 1)\).

2. \(\vec{u}(0, 1, -2)\), \(\vec{v}(3, 0, 1)\).

3. \(\vec{u}(2, 4, -2)\), \(\vec{v}(1, 2, -1)\). Conclure.

4. \(\vec{u}(a, 0, 0)\) et \(\vec{v}(0, b, 0)\) (avec \(a, b > 0\)).

Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs de l’espace.

1. Démontrer que \(\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}\) par les coordonnées.

2. Vérifier l’identité de Lagrange \(\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2 \left\|\vec{v}\right\|^2\) sur \(\vec{u}(1, 0, 1)\) et \(\vec{v}(2, 1, -1)\).

3. Trouver \(m\) pour que \(\vec{u}(m, 1, 2) \times \vec{v}(1, m, -1) = \vec{0}\).

1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\). Vérifier par la formule classique.

2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 4)\), \(C(0, 2, 1)\).

3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}(1, -2, 3)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\).

Donner l’équation cartésienne du plan \((ABC)\) en utilisant le produit vectoriel.

1. \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\), \(C(0, 0, 1)\).

2. \(A(2, -1, 3)\), \(B(1, 2, 0)\), \(C(0, 1, 4)\).

3. \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 4)\), \(C(3, 5, 7)\). Que constate-t-on ? Conclure.

Calculer le volume du tétraèdre \(ABCD\) pour :

1. \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\), \(D(0, 0, 6)\).

2. \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 1)\), \(C(0, 2, 2)\), \(D(3, 1, 4)\).

3. Quatre points \(A, B, C, D\) tels que \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) soient coplanaires : conclure sur le volume.

Soit le tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(0, 3, 0)\), \(D(1, 1, 5)\).

1. Calculer l’aire de la base \((ABC)\).

2. Calculer le volume du tétraèdre.

3. En déduire la hauteur issue de \(D\) (i.e. \(d(D, (ABC))\)).

1. Calculer la distance de \(M(1, 2, 3)\) à la droite passant par \(A(0, 0, 0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1, 1, 1)\).

2. Calculer la distance de \(M(3, 1, -1)\) à la droite \((AB)\) avec \(A(1, 0, 2)\) et \(B(2, 1, 0)\).

\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\), avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 0, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(E(0, 0, 1)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\). Conclure.

2. Calculer l’aire du triangle \(BDG\).

3. Calculer le volume du tétraèdre \(ABDE\).

4. Calculer la distance de \(A\) à la droite \((BD)\).

Dans un repère orthonormé direct, on considère \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\) et \(D(0,a,0)\), où \(a>0\). Le sommet de la pyramide est \(S(a/2,a/2,h)\), avec \(h>0\).

1. Calculer l’aire de la base \(ABCD\).

2. Calculer le volume de la pyramide à l’aide du produit mixte.

3. Calculer l’aire latérale (par produit vectoriel sur une face triangulaire et multiplication).

Dans une base orthonormée directe, soient \(\vec u=(1,2,-1)\) et \(\vec v=(2,-1,3)\).

1. Calculer \(\vec u\times\vec v\).

2. Vérifier que ce vecteur est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).

3. Déterminer les vecteurs \(\vec w\) tels que \(\vec u\times\vec w=\vec 0\).

Soient \(A(1,0,2)\), \(B(0,2,1)\), \(C(2,1,0)\) et \(d:(x,y,z)=(0,0,1)+t(1,1,1)\).

1. À l’aide d’un produit vectoriel, déterminer une équation du plan \((ABC)\).

2. Étudier la position relative de \(d\) et \((ABC)\).

Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\) et \(O(0,0,0)\).

1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

2. Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\).

3. En déduire la distance de \(O\) au plan \((ABC)\).