Série d'exercices 1ère Bac SM

Série d’exercices

3 min de lecture · Produit vectoriel
Télécharger le PDF · 212 Ko

Série d’exercices N°8 (S2)
Produit vectoriel
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques

I. Calculs et propriétés

Exercice n°1

Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) :

  1. \(\vec{u}(1, 2, 3)\), \(\vec{v}(2, -1, 1)\).

  2. \(\vec{u}(0, 1, -2)\), \(\vec{v}(3, 0, 1)\).

  3. \(\vec{u}(2, 4, -2)\), \(\vec{v}(1, 2, -1)\). Conclure.

  4. \(\vec{u}(a, 0, 0)\) et \(\vec{v}(0, b, 0)\) (avec \(a, b > 0\)).

Exercice n°2

Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs de l’espace.

  1. Démontrer que \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\) par les coordonnées.

  2. Vérifier l’identité de Lagrange \(\left\|\vec{u} \wedge \vec{v}\right\|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2 \left\|\vec{v}\right\|^2\) sur \(\vec{u}(1, 0, 1)\) et \(\vec{v}(2, 1, -1)\).

  3. Trouver \(m\) pour que \(\vec{u}(m, 1, 2) \wedge \vec{v}(1, m, -1) = \vec{0}\).

II. Aires

Exercice n°3

  1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\). Vérifier par la formule classique.

  2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) avec \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 4)\), \(C(0, 2, 1)\).

  3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}(1, -2, 3)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\).

III. Équations de plans

Exercice n°4

Donner l’équation cartésienne du plan \((ABC)\) en utilisant le produit vectoriel.

  1. \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\), \(C(0, 0, 1)\).

  2. \(A(2, -1, 3)\), \(B(1, 2, 0)\), \(C(0, 1, 4)\).

  3. \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 4)\), \(C(3, 5, 7)\). Que constate-t-on ? Conclure.

IV. Volumes

Exercice n°5

Calculer le volume du tétraèdre \(ABCD\) pour :

  1. \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\), \(D(0, 0, 6)\).

  2. \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 1)\), \(C(0, 2, 2)\), \(D(3, 1, 4)\).

  3. Quatre points \(A, B, C, D\) tels que \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) soient coplanaires : conclure sur le volume.

Exercice n°6

Soit le tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(0, 3, 0)\), \(D(1, 1, 5)\).

  1. Calculer l’aire de la base \((ABC)\).

  2. Calculer le volume du tétraèdre.

  3. En déduire la hauteur issue de \(D\) (i.e. \(d(D, (ABC))\)).

V. Distances

Exercice n°7

  1. Calculer la distance de \(M(1, 2, 3)\) à la droite passant par \(A(0, 0, 0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1, 1, 1)\).

  2. Calculer la distance de \(M(3, 1, -1)\) à la droite \((AB)\) avec \(A(1, 0, 2)\) et \(B(2, 1, 0)\).

VI. Problèmes de synthèse

Exercice n°8

\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\), avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 0, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(E(0, 0, 1)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}\). Conclure.

  2. Calculer l’aire du triangle \(BDG\).

  3. Calculer le volume du tétraèdre \(ABDE\).

  4. Calculer la distance de \(A\) à la droite \((BD)\).

Exercice n°9

\(ABCD\) est un carré de côté \(a\) dans le plan \(z = 0\), et \(S\) est le sommet de la pyramide tel que \(S(a/2, a/2, h)\) (\(h > 0\)).

  1. Calculer l’aire de la base \(ABCD\).

  2. Calculer le volume de la pyramide à l’aide du produit mixte.

  3. Calculer l’aire latérale (par produit vectoriel sur une face triangulaire et multiplication).

Fin de la série – Produit vectoriel

Précédent
Produit vectoriel SM