Rotation SM
Table des matières
La rotation dans le plan
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Définition et premières propriétés
Définition d’une rotation
Définition
Soient \(\Omega\) un point du plan et \(\theta\) un nombre réel (l’angle, en radian). La rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\), notée \(r_{(\Omega, \theta)}\) ou \(\mathcal{R}\), est la transformation du plan qui :
-
Fixe \(\Omega\) : \(\mathcal{R}(\Omega) = \Omega\).
-
Pour tout \(M \neq \Omega\) : \(\mathcal{R}(M) = M'\) avec :
-
\(\Omega M' = \Omega M\) (conservation de la distance au centre) ;
-
\(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})} \equiv \theta \,[2\pi]\) (angle orienté).
-
Cas particuliers
Remarque
-
Si \(\theta = 0\) (ou \(2k\pi\)) : \(\mathcal{R}\) est l’identité : \(\mathcal{R}(M) = M\) pour tout \(M\).
-
Si \(\theta = \pi\) (ou \(\pi + 2k\pi\)) : \(\mathcal{R}\) est la symétrie centrale de centre \(\Omega\) (demi-tour).
-
Si \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) : quart de tour direct. Si \(\theta = -\dfrac{\pi}{2}\) : quart de tour indirect.
Conservation des distances et des angles
Théorème
(Isométrie) La rotation \(\mathcal{R}\) est une isométrie : pour tous points \(A, B\) et leurs images \(A' = \mathcal{R}(A)\), \(B' = \mathcal{R}(B)\) :
\[A'B' = AB.\]
De plus, la rotation conserve les angles orientés :
\[\widehat{(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'})} = \widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}.\]
Démonstration
Conservation des distances. Posons \(u = \Omega A\) et \(v = \Omega B\). Alors :
\[\vec{AB} = \vec{\Omega B} - \vec{\Omega A}, \quad |AB|^2 = |\vec{\Omega B}|^2 + |\vec{\Omega A}|^2 - 2 \vec{\Omega A} \cdot \vec{\Omega B} = v^2 + u^2 - 2 u v \cos(\widehat{\Omega A, \Omega B}).\]
Pour \(A' = \mathcal{R}(A)\), \(B' = \mathcal{R}(B)\) : \(\Omega A' = \Omega A = u\), \(\Omega B' = \Omega B = v\), et l’angle entre \(\vec{\Omega A'}\) et \(\vec{\Omega B'}\) est égal à celui entre \(\vec{\Omega A}\) et \(\vec{\Omega B}\) (les deux ont subi la rotation d’angle \(\theta\), leur différence est inchangée). Donc \(|A'B'|^2 = |AB|^2\), soit \(A'B' = AB\). \(\square\)
Bijectivité
Proposition
La rotation \(r_{(\Omega, \theta)}\) est une bijection du plan. Sa bijection réciproque est la rotation \(r_{(\Omega, -\theta)}\).
Image d’une figure par une rotation
Image des objets usuels
Théorème
Soit \(\mathcal{R} = r_{(\Omega, \theta)}\) une rotation.
\(\bullet\)L’image d’une droite \((D)\) est une droite \((D')\) ; l’angle orienté entre \((D)\) et \((D')\) vaut \(\theta\).
\(\bullet\)L’image d’un segment \([AB]\) est un segment \([A'B']\) de même longueur.
\(\bullet\)L’image d’un cercle de centre \(I\) et rayon \(r\) est un cercle de centre \(\mathcal{R}(I)\) et même rayon \(r\).
\(\bullet\)L’image d’un triangle est un triangle isométrique (même forme, même dimensions).
Construction de l’image d’un point
Méthode
Pour construire \(M' = r_{(\Omega, \theta)}(M)\) :
-
Tracer le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\Omega M\).
-
Tracer le rayon \([\Omega M)\).
-
Tracer le rayon faisant un angle \(\theta\) avec \([\Omega M)\) (sens trigonométrique si \(\theta > 0\)).
-
\(M'\) est l’intersection de ce nouveau rayon avec le cercle.
Cas particulier : symétrie centrale
Proposition
La rotation d’angle \(\pi\) et de centre \(\Omega\) est la symétrie centrale \(s_\Omega\) : \(\Omega\) est le milieu de \([M M']\) pour tout \(M\).
Caractérisation : \(\overrightarrow{\Omega M'} = -\overrightarrow{\Omega M}\).
Cas particulier : quart de tour
Exemple
Quart de tour direct de centre \(\Omega(0, 0)\) : envoie \(M(x, y)\) sur \(M'(-y, x)\).
Vérification. \(\Omega M' = \sqrt{y^2 + x^2} = \Omega M\). ✓
L’angle orienté \(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})}\) : si \(M(x, y) = r(\cos \alpha, \sin \alpha)\), alors \(M'(-y, x) = r(-\sin \alpha, \cos \alpha) = r(\cos(\alpha + \pi/2), \sin(\alpha + \pi/2))\). Donc l’angle est \(\pi/2\). ✓
Composition de rotations
Composition de deux rotations de même centre
Théorème
La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\) et d’angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta_1 + \theta_2\) :
\[r_{(\Omega, \theta_2)} \circ r_{(\Omega, \theta_1)} = r_{(\Omega, \theta_1 + \theta_2)}.\]
Démonstration
Soit \(M\) un point, \(M_1 = r_{(\Omega, \theta_1)}(M)\) et \(M_2 = r_{(\Omega, \theta_2)}(M_1)\).
\(\bullet\) \(\Omega M_2 = \Omega M_1 = \Omega M\) (conservation des distances).
\(\bullet\) L’angle \(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M_2})} = \widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M_1})} + \widehat{(\overrightarrow{\Omega M_1}, \overrightarrow{\Omega M_2})} = \theta_1 + \theta_2\) (Chasles angulaire).
Donc \(M_2 = r_{(\Omega, \theta_1 + \theta_2)}(M)\). \(\square\)
Remarque
La composition n’est pas commutative en général pour des rotations de centres différents (résultat plus complexe : la composée est une rotation ou une translation). On se limite ici aux compositions de même centre.
Itération
Proposition
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[r_{(\Omega, \theta)}^n = \underbrace{r_{(\Omega, \theta)} \circ \cdots \circ r_{(\Omega, \theta)}}_{n \text{ fois}} = r_{(\Omega, n\theta)}.\]
En particulier, si \(\theta = \dfrac{2\pi}{n}\), alors \(r_{(\Omega, \theta)}^n = \mathrm{id}\) (rotation identité).
Applications
Polygones réguliers
Proposition
Un polygone régulier à \(n\) côtés (centre \(\Omega\)) est invariant par la rotation \(r_{(\Omega, 2\pi/n)}\).
Exemple. Le triangle équilatéral est invariant par \(r_{(\Omega, 2\pi/3)}\) ; le carré par \(r_{(\Omega, \pi/2)}\) ; l’hexagone régulier par \(r_{(\Omega, \pi/3)}\).
Identification d’une rotation
Méthode
Pour reconnaître qu’une transformation \(f\) est une rotation et déterminer ses éléments :
\(\bullet\)Vérifier que \(f\) conserve les distances (\(f\) isométrie).
\(\bullet\)Vérifier que \(f\) conserve les angles orientés.
\(\bullet\)Trouver le centre comme point fixe de \(f\) (i.e. \(f(\Omega) = \Omega\)).
\(\bullet\)Déterminer l’angle en prenant \(M \neq \Omega\) et calculant \(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})}\).
Exemple
Soit \(f\) la transformation du plan définie analytiquement par
\[\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est une rotation et préciser ses éléments.
Lieu géométrique
Méthode
Pour déterminer un lieu géométrique impliquant une rotation, on exprime la condition par rapport à un point variable \(M\) et son image \(M'\), puis on utilise les invariants (\(\Omega M = \Omega M'\), angles).
Exemple
Soient \(A\) et \(B\) deux points fixes, et \(\mathcal{R} = r_{(A, \pi/3)}\). Déterminer le lieu des points \(M\) tels que \(\mathcal{R}(M)\) soit sur \((AB)\).
Synthèse
Récapitulatif
| Notion | Caractérisation |
|---|---|
| \(r_{(\Omega, \theta)}(M) = M'\) (\(M \neq \Omega\)) | \(\Omega M' = \Omega M\) et \(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})} = \theta\) |
| Cas \(\theta = 0\) | Identité |
| Cas \(\theta = \pi\) | Symétrie centrale en \(\Omega\) |
| Cas \(\theta = \pm \pi/2\) | Quart de tour |
| Isométrie | \(A'B' = AB\) pour tous \(A, B\) |
| Composition même centre | \(r_{(\Omega, \theta_2)} \circ r_{(\Omega, \theta_1)} = r_{(\Omega, \theta_1 + \theta_2)}\) |
| Réciproque | \(r_{(\Omega, \theta)}^{-1} = r_{(\Omega, -\theta)}\) |
| Itération | \(r_{(\Omega, \theta)}^n = r_{(\Omega, n\theta)}\) |
Pièges classiques
Remarque
-
Confondre rotation et symétrie axiale. La rotation préserve l’orientation, pas la symétrie axiale.
-
Sens des angles. En géométrie, l’angle orienté est compté dans le sens trigonométrique (anti-horaire pour \(\theta > 0\)).
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Composition pour des centres différents. En général \(r_{\Omega_1} \circ r_{\Omega_2} \neq r_{\Omega_2} \circ r_{\Omega_1}\).
-
Image d’un cercle. Le centre est transformé, le rayon reste inchangé.
-
Recherche du centre. Seul le centre \(\Omega\) est fixe ; pour tout autre point \(M\), \(r(M) \neq M\) (sauf si \(\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}\)).
Fin du chapitre 8 – La rotation dans le plan