Série d’exercices

Dans le plan, on donne un point \(\Omega\), un triangle \(ABC\) et un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(I\) ne passant pas par \(\Omega\).

1. Construire \(A' = r_{(\Omega, \pi/3)}(A)\).

2. Construire le triangle \(A'B'C'\) image du triangle \(ABC\) par \(r_{(\Omega, \pi/2)}\).

3. Construire le cercle image de \(\mathcal{C}\) par \(r_{(\Omega, \pi)}\).

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on donne \(\Omega(2, 1)\) et \(M(5, 3)\).

1. Calculer les coordonnées de \(M' = r_{(\Omega, \pi/2)}(M)\).

2. Calculer les coordonnées de \(M'' = r_{(\Omega, \pi)}(M)\) et vérifier que \(\Omega\) est le milieu de \([MM'']\).

3. Calculer les coordonnées de \(M''' = r_{(\Omega, -\pi/2)}(M)\).

Indication : utiliser que \(r_{(\Omega, \theta)}\) envoie \(M(x, y)\) sur \(M'(x_\Omega + (x-x_\Omega)\cos\theta - (y-y_\Omega)\sin\theta, y_\Omega + (x-x_\Omega)\sin\theta + (y-y_\Omega)\cos\theta)\).

Soit \(f\) la transformation du plan définie analytiquement par
\[\begin{cases} x' = -y + 2 \\ y' = x - 1 \end{cases}\]

1. Vérifier que \(f\) est une isométrie.

2. Déterminer l’unique point fixe de \(f\).

3. Calculer \(\overrightarrow{\Omega M}\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}\) pour \(M(0, 0)\) et son image. Quel est l’angle de la rotation ?

4. Conclure.

Soit \(\mathcal{R} = r_{(\Omega, \pi/3)}\) et \(M, N\) deux points distincts.

1. Démontrer que \(\mathcal{R}(M) \mathcal{R}(N) = MN\).

2. Démontrer que l’angle orienté est conservé : \(\widehat{(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{M'P'})} = \widehat{(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP})}\).

3. En déduire que l’image d’une droite par une rotation est une droite.

1. Soit \(\Omega\) un point et \(\theta_1 = \dfrac{\pi}{4}\), \(\theta_2 = \dfrac{\pi}{6}\). Déterminer \(r_{(\Omega, \theta_2)} \circ r_{(\Omega, \theta_1)}\).

2. Calculer \(r_{(\Omega, \pi/3)}^6\).

3. Soit \(\mathcal{R} = r_{(O, \pi/4)}\) (centre origine). Montrer que \(\mathcal{R}^8 = \mathrm{id}\).

4. Sachant que \(\mathcal{R} = r_{(\Omega, \pi/2)}\), déterminer \(\mathcal{R}^{-1}\) et \(\mathcal{R}^{2025}\).

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de centre \(G\).

1. Soit \(\mathcal{R} = r_{(G, 2\pi/3)}\). Montrer que \(\mathcal{R}(A) = B\), \(\mathcal{R}(B) = C\), \(\mathcal{R}(C) = A\).

2. En déduire que \(GA = GB = GC\) et que les angles au centre \(\widehat{AGB}\), \(\widehat{BGC}\), \(\widehat{CGA}\) sont tous égaux à \(\dfrac{2\pi}{3}\).

3. Montrer que \(\mathcal{R}^3 = \mathrm{id}\).

Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\).

1. Soit \(\mathcal{R} = r_{(O, \pi/2)}\). Décrire l’effet de \(\mathcal{R}\) sur les sommets \(A, B, C, D\).

2. Calculer \(\mathcal{R}^2, \mathcal{R}^3, \mathcal{R}^4\).

3. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Que vaut \(\mathcal{R}(I)\) ?

Soit \(ABCDEF\) un hexagone régulier direct de centre \(O\) et \(\mathcal{R} = r_{(O, \pi/3)}\).

1. Décrire l’image de chacun des sommets.

2. Montrer que \(\mathcal{R}^6 = \mathrm{id}\).

3. Soit \(M\) le milieu de \([AB]\). Quelle est l’image de \(M\) par \(\mathcal{R}\) ?

Soit \(ABC\) un triangle quelconque et \(\mathcal{R} = r_{(B, \pi/3)}\). On note \(A' = \mathcal{R}(A)\) et \(C' = \mathcal{R}(C)\).

1. Construire \(A'\) et \(C'\).

2. Montrer que le triangle \(ABA'\) est équilatéral.

3. Montrer que \(AC = A'C'\).

Soit \(ABCD\) un carré direct (les sommets sont dans le sens trigonométrique). Soit \(E\) un point du segment \([BC]\). On note \(F = r_{(B, \pi/2)}(E)\).

1. Montrer que \(F\) appartient à la droite \((BA)\).

2. Montrer que \(BE = BF\).

3. En déduire que le triangle \(BEF\) est rectangle isocèle en \(B\).

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). On construit le carré \(ABDE\) extérieur au triangle, sur le côté \([AB]\).

1. Soit \(\mathcal{R} = r_{(B, \pi/2)}\). Calculer \(\mathcal{R}(A)\) et \(\mathcal{R}(C)\) (que l’on note \(C'\)).

2. Montrer que \(DC' = AC\).

3. En déduire que \(DC = AC + AB\) ou que les triangles \(ABC\) et \(DBC'\) sont isométriques (selon configuration).

Soit \(\Omega\) un point fixe et \(A\) un point variable. On note \(A' = r_{(\Omega, \pi/2)}(A)\).

1. Si \(A\) décrit la droite \((D)\), quel est le lieu de \(A'\) ?

2. Si \(A\) décrit un cercle de centre \(\Omega\) et rayon \(r\), quel est le lieu de \(A'\) ?

3. Si \(A\) décrit un cercle de centre \(I \neq \Omega\) et rayon \(r\), quel est le lieu de \(A'\) ?

4. Si \(A\) décrit le segment \([BC]\), quel est le lieu de \(A'\) ?