Table des matières
Définition et rotation réciproque
Définition
Soient \(\Omega\) un point du plan orienté direct et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
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La rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\alpha\), notée \(r(\Omega ; \alpha)\), est la transformation du plan définie par : \(r(\Omega) = \Omega\) et, pour tout \(M \neq \Omega\), \(r(M) = M'\) avec \(\Omega M = \Omega M'\) et \(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M} ; \overrightarrow{\Omega M'})} \equiv \alpha\,[2\pi]\).
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La rotation réciproque de \(r(\Omega ; \alpha)\) est \(r^{-1} = r(\Omega ; -\alpha)\). Pour tout \(M\) : \(r(M) = M' \Leftrightarrow r^{-1}(M') = M\).
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Cas particuliers : si \(\alpha \equiv \pi\,[2\pi]\), \(r\) est la symétrie centrale de centre \(\Omega\) ; si \(\alpha \equiv 0\,[2\pi]\), \(r\) est l’identité ; sinon, \(\Omega\) est l’unique point invariant.
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Si \(r(M) = M'\) avec \(M \neq \Omega\) et \(\alpha \not\equiv 0\,[2\pi]\), le triangle \(\Omega MM'\) est isocèle de sommet \(\Omega\) et \(\Omega\) appartient à la médiatrice de \([MM']\).
Exemple
\(ABC\) est un triangle équilatéral et \(I\) est le milieu de \([BC]\). Compléter chaque image en précisant la rotation utilisée :
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\(r\!\left(C, \dfrac{\pi}{3}\right)(A) = \ldots\)
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\(r\!\left(A, -\dfrac{\pi}{3}\right)(C) = \ldots\)
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\(r\!\left(B, \dfrac{\pi}{3}\right)(C) = \ldots\)
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\(r(I, \pi)(B) = \ldots\)
Application
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Soient \(r_{1}\) et \(r_{2}\) les rotations de centre \(O\) et d’angles respectifs \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(-\dfrac{\pi}{2}\).
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Déterminer \(r_{1}(A)\), \(r_{1}(B)\), \(r_{1}(C)\) et \(r_{1}(D)\).
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Déterminer \(r_{2}(A)\), \(r_{2}(B)\), \(r_{2}(C)\) et \(r_{2}(D)\).
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Que peut-on remarquer sur le lien entre \(r_{1}\) et \(r_{2}\) ?
Propriétés de la rotation
Proposition
Soit \(r\) une rotation d’angle \(\alpha\). Soient \(A, B, C, D, G, I\) des points du plan d’images respectives \(A', B', C', D', G', I'\) par \(r\).
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Conservation de la distance : \(AB = A'B'\).
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Conservation de l’angle orienté : si \(A \neq B\), alors \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{A'B'})} \equiv \alpha\,[2\pi]\). Plus généralement, si \(A \neq B\) et \(C \neq D\) : \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD})} \equiv \widehat{(\overrightarrow{A'B'} ; \overrightarrow{C'D'})}\,[2\pi]\).
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Conservation du barycentre : si \(G = \mathrm{bar}\{(A ; \alpha_1), (B ; \beta_1)\}\), alors \(G' = \mathrm{bar}\{(A' ; \alpha_1), (B' ; \beta_1)\}\). Cas particulier : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(I'\) est le milieu de \([A'B']\). Cette propriété s’étend à 3 ou 4 points pondérés.
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Conservation de la colinéarité : si \(\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}\) (\(k \in \mathbb{R}\)), alors \(\overrightarrow{A'C'} = k\,\overrightarrow{A'B'}\).
Exemple
On considère les configurations suivantes :
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Un triangle \(ABC\) et, à l’extérieur de ce triangle, deux triangles équilatéraux \(MAB\) et \(NAC\). Montrer que \(MC = NB\).
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Deux triangles rectangles isocèles \(OAB\) et \(OCD\) au sommet commun \(O\) tels que \(\widehat{(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\) et \(\widehat{(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{OD})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Montrer que \(AC = BD\) et \((AC) \perp (BD)\).
Application
Soit \(ABC\) un triangle et \(D = \mathrm{bar}\{(B ; 1), (C ; 2)\}\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
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Construire \(B'\), \(C'\) et \(D'\) images respectives de \(B\), \(C\), \(D\) par \(r\).
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Montrer que \(B'\), \(C'\) et \(D'\) sont alignés.
Images de figures par une rotation
Proposition
Soit \(r\) une rotation et \(A, B, O\) des points d’images \(A', B', O'\) (\(A \neq B\)).
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L’image de la droite \((AB)\) est la droite \((A'B')\).
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L’image du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\) ; celle de la demi-droite \([AB)\) est la demi-droite \([A'B')\).
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L’image du cercle \(\mathcal{C}(O ; R)\) est le cercle \(\mathcal{C}'(O' ; R)\) (même rayon).
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Les images de deux droites perpendiculaires (resp. parallèles) sont deux droites perpendiculaires (resp. parallèles).
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Si \(M\) est le point d’intersection de deux droites \((D)\) et \((\Delta)\), alors \(r(M)\) est le point d’intersection des images de ces droites.
Exemple
\(ABCD\) est un carré tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Soit \(E\) un point de \([BC]\) tel que \(E \neq B\) et \(E \neq C\), et \(F\) le point d’intersection de la droite \((DC)\) et de la droite perpendiculaire à \((AE)\) en \(A\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
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Déterminer les images des deux droites \((BC)\) et \((AE)\).
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En déduire l’image de \(E\) par \(r\).
Application
Soit \(ABC\) un triangle rectangle isocèle en \(A\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). On considère la rotation \(r\) de centre \(I\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(C\) passant par \(I\).
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Construire \((\mathcal{C}')\) image de \((\mathcal{C})\) par \(r\).
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\((\mathcal{C})\) coupe \([AC]\) en \(E\) et \((\mathcal{C}')\) coupe \([AB]\) en \(F\). Montrer que \(r(E) = F\).
Exercice n°1
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Soient \(I\), \(J\) tels que \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BJ} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\). Les droites \((IC)\) et \((JD)\) coupent respectivement \((BD)\) et \((AC)\) en \(M\) et \(N\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
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Déterminer \(r(A)\) et \(r(B)\).
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Montrer que \(I = \mathrm{bar}\{(A ; 1), (B ; -3)\}\), puis que \(r(I) = J\).
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Déterminer l’image de \((BD)\) et de \((IC)\) par \(r\), puis en déduire que \(r(M) = N\).
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Montrer que \(IM = JN\) et \((CM) \perp (DN)\).