Série d’exercices

Soit \(\Omega\) un point du plan orienté direct. Pour chacune des rotations suivantes, donner la rotation réciproque :

1. \(r\!\left(\Omega; \dfrac{\pi}{4}\right)\).

2. \(r\!\left(\Omega; -\dfrac{\pi}{3}\right)\).

3. \(r(\Omega; \pi)\).

4. \(r\!\left(\Omega; \dfrac{2\pi}{3}\right)\).

Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). On considère la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1. Déterminer \(r(A)\), \(r(B)\), \(r(C)\), \(r(D)\).

2. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Déterminer \(r(I)\).

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})} \equiv \dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]\).

On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

Construire à l’extérieur de \(ABC\) deux carrés \(ABEF\) et \(ACGH\).

1. Déterminer \(r(B)\) et \(r(F)\).

2. Montrer que \(CF = BH\) (où \(H\) est le point tel que défini).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. On considère la rotation \(r\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Soit \(C = r(B)\).

Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct. On construit à l’extérieur de \(ABC\) trois carrés \(BCDE\), \(CAFG\) et \(ABHI\).

Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

1. Déterminer \(r(C)\) et \(r(D)\).

2. Montrer que \(AD = HE\).

Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Soient \(M\) et \(N\) deux points tels que \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

1. Montrer que \(r(M) = N\).

2. En déduire \(OM = ON\) et \((OM) \perp (ON)\).

Soit \(ABC\) un triangle rectangle isocèle en \(A\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Soit \(M\) un point du segment \([BC]\) et \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). On note \(N = r(M)\).

1. Montrer que \(N\) appartient à la droite \((AB)\) (ou son prolongement) et que \(AN = AM\).

2. Montrer que le triangle \(AMN\) est rectangle isocèle en \(A\).

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère deux rotations de même angle \(\dfrac{\pi}{2}\) et de centres respectifs \(A\) et \(C\). Soit \(r_A\) et \(r_C\).

Soit \(E = r_A(B)\) et \(F = r_C(B)\). Montrer que les triangles \(ABE\) et \(CBF\) sont rectangles isocèles, et comparer les longueurs \(BE\) et \(BF\).

Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\) et \(E\) un point du segment \([AB]\) (\(E \neq A\) et \(E \neq B\)). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(F = r(E)\).

Montrer que \(F\) appartient au segment \([BC]\) et que \(OE = OF\).

Soit \(ABC\) un triangle. On construit à l’extérieur de ce triangle trois triangles équilatéraux \(BCD\), \(CAE\) et \(ABF\). Soit \(r_1\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

1. Déterminer \(r_1(B)\).

2. Montrer que \(AD = BE = CF\).

(Théorème de Napoléon — partie classique.)

Soit \(ABCD\) un quadrilatère et \(G\) son centre de gravité (barycentre de \(A, B, C, D\) avec coefficients \(1\)). Soit \(r\) une rotation quelconque de centre \(\Omega\) et d’angle \(\alpha\), d’images \(A', B', C', D'\) de \(A, B, C, D\).

Montrer que \(r(G) = G'\), où \(G'\) est le centre de gravité de \(A'B'C'D'\).

Soit \(r_1\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\alpha\), et \(r_2\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\beta\). Montrer que \(r_2 \circ r_1 = r(A; \alpha+\beta)\).

(Indication : utiliser la conservation de la distance et de l’angle orienté.)