Série d’exercices

Soit \(\Omega\) un point du plan orienté direct. Pour chacune des rotations suivantes, donner la rotation réciproque :

1. \(r\!\left(\Omega; \dfrac{\pi}{4}\right)\).

2. \(r\!\left(\Omega; -\dfrac{\pi}{3}\right)\).

3. \(r(\Omega; \pi)\).

4. \(r\!\left(\Omega; \dfrac{2\pi}{3}\right)\).

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct de centre de gravité \(G\). On considère la rotation \(r\) de centre \(G\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).

1. Déterminer \(r(A)\), \(r(B)\) et \(r(C)\).

2. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Déterminer \(r(I)\).

3. Déterminer la rotation réciproque de \(r\) et préciser les images de \(A\), \(B\) et \(C\) par cette rotation.

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})} \equiv \dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]\).

On construit à l’extérieur de \(ABC\) deux carrés \(ABEF\) et \(ACGH\), et on note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1. Déterminer \(r(F)\) et \(r(C)\).

2. En déduire que \(CF = BH\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. On considère la rotation \(r\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Soit \(C = r(B)\).

Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct. On construit à l’extérieur de \(ABC\) trois carrés \(BCDE\), \(CAFG\) et \(ABHI\).

Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1. Déterminer \(r(A)\) et \(r(E)\).

2. Montrer que \(AE = HC\).

Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\), et \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). On note \((\mathcal{C})\) le cercle de diamètre \([AB]\).

1. Déterminer \(r(A)\) et \(r(B)\).

2. En déduire que l’image de \((\mathcal{C})\) par \(r\) est le cercle \((\mathcal{C}')\) de diamètre \([BC]\).

3. Montrer que \(O\) appartient à \((\mathcal{C})\), puis que \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}')\) se coupent en \(B\) et en \(O\).

Soit \(ABC\) un triangle rectangle isocèle en \(A\) tel que \(\widehat{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})} \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\), et \(B'\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\). Soit \(M\) un point du segment \([BC]\), \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(N = r(M)\).

1. Déterminer \(r(B)\) et \(r(C)\).

2. En déduire que \(N\) appartient au segment \([CB']\).

3. Montrer que le triangle \(AMN\) est rectangle isocèle en \(A\).

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On note \(r_A\) et \(r_C\) les rotations d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\) et de centres respectifs \(A\) et \(C\). On pose \(E = r_A(B)\) et \(F = r_C(B)\).

1. Montrer que le triangle \(ABE\) est rectangle isocèle en \(A\), et que le triangle \(CBF\) est rectangle isocèle en \(C\).

2. Exprimer \(BE\) en fonction de \(AB\), puis \(BF\) en fonction de \(BC\).

3. À quelle condition sur \(ABCD\) a-t-on \(BE = BF\) ?

Soit \(ABCD\) un carré direct de centre \(O\) et \(E\) un point du segment \([AB]\) (\(E \neq A\) et \(E \neq B\)). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(F = r(E)\).

Montrer que \(F\) appartient au segment \([BC]\) et que \(OE = OF\).

Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit à l’extérieur de ce triangle trois triangles équilatéraux \(BCD\), \(CAE\) et \(ABF\). Soient \(r_1\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(r_2\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\).

1. Déterminer \(r_1(F)\) et \(r_1(C)\), puis en déduire que \(CF = BE\).

2. Déterminer \(r_2(A)\) et \(r_2(D)\), puis en déduire que \(AD = CF\).

3. Conclure que \(AD = BE = CF\).

Soit \(ABCD\) un quadrilatère et \(G\) son centre de gravité (barycentre de \(A, B, C, D\) avec coefficients \(1\)). Soit \(r\) une rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\alpha\), et soient \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) les images respectives de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) par \(r\).

Montrer que \(r(G) = G'\), où \(G'\) est le centre de gravité de \(A'B'C'D'\).

Soit \(ABC\) un triangle direct et \(r\) la rotation de centre \(A\) qui transforme \(B\) en \(C\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les longueurs \(AB\) et \(AC\) pour que cette rotation existe.

2. Dans le cas où elle existe, déterminer son angle modulo \(2\pi\).

3. Construire l’image \(D\) du milieu \(I\) de \([BC]\) par \(r\).

4. Montrer que \(AD=AI\) et déterminer l’angle orienté \(\widehat{(\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AD})}\) modulo \(2\pi\).