Suites SM
Table des matières
Généralités sur les suites numériques
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Notion de suite numérique
Définition
Définition
Une suite numérique est une application \(u : I \to \mathbb{R}\) où \(I\) est une partie de \(\mathbb{N}\) (typiquement \(I = \mathbb{N}\) ou \(I = \{n \in \mathbb{N} \;|\; n \geq n_0\}\)).
L’image de \(n\) par \(u\) se note \(u_n\) (et non \(u(n)\)). On dit que \(u_n\) est le terme général ou terme d’indice \(n\) de la suite, qu’on note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Modes de définition d’une suite
Méthode
Une suite peut être définie de plusieurs façons :
-
Forme explicite : \(u_n = f(n)\) où \(f\) est une fonction de la variable réelle.
-
Par récurrence : un terme initial \(u_0\) (ou \(u_{n_0}\)) et une relation \(u_{n+1} = g(u_n)\) (récurrence d’ordre 1).
-
Par récurrence d’ordre 2 : termes initiaux \(u_0, u_1\) et relation \(u_{n+2} = g(u_n, u_{n+1})\).
Exemple
Quelques suites usuelles.
\(\bullet\)Explicite : \(u_n = 2n + 1\) (suite des entiers impairs : \(1, 3, 5, 7, \ldots\)).
\(\bullet\)Par récurrence d’ordre 1 : \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = 2 u_n + 3\).
Les premiers termes : \(u_1 = 5\), \(u_2 = 13\), \(u_3 = 29\).
\(\bullet\)Par récurrence d’ordre 2 (suite de Fibonacci) : \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\).
Les premiers termes : \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\)
Représentation graphique
Remarque
On représente graphiquement une suite par les points \((n, u_n)\) dans le plan. Pour une suite définie par \(u_n = f(n)\), ce sont les points de la courbe de \(f\) aux abscisses entières.
Monotonie d’une suite
Définitions
Définition
Soit \((u_n)\) une suite.
\(\bullet\)\((u_n)\) est croissante si \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} \geq u_n\).
\(\bullet\)\((u_n)\) est strictement croissante si \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} > u_n\).
\(\bullet\)\((u_n)\) est décroissante si \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} \leq u_n\).
\(\bullet\)\((u_n)\) est constante (ou stationnaire) si \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} = u_n\).
\(\bullet\)\((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthodes d’étude de la monotonie
Méthode
Pour étudier la monotonie d’une suite \((u_n)\), on dispose de plusieurs techniques :
(M1) Étude du signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Si \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) est croissante.
(M2) Comparaison du rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) (si tous les termes sont strictement positifs).
Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1\), alors \((u_n)\) est croissante.
(M3) Pour une suite explicite \(u_n = f(n)\).
Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur \([n_0, +\infty[\).
(M4) Par récurrence.
Démontrer par récurrence que \(u_{n+1} \geq u_n\) pour tout \(n\).
Exemple
Étudier la monotonie de \(u_n = n^2 - 5n + 1\).
Exemple
Étudier la monotonie de \(u_n = \dfrac{2^n}{n!}\) pour \(n \geq 1\).
Suites majorées, minorées, bornées
Définition
Soit \((u_n)\) une suite.
\(\bullet\)\((u_n)\) est majorée s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\; u_n \leq M\). \(M\) est appelé un majorant.
\(\bullet\)\((u_n)\) est minorée s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\,(\forall n \in \mathbb{N})\; u_n \geq m\). \(m\) est un minorant.
\(\bullet\)\((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. De manière équivalente : il existe \(K \geq 0\) tel que \(|u_n| \leq K\) pour tout \(n\).
Exemple
La suite \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) est bornée.
Méthode
Pour démontrer qu’une suite est majorée/minorée, on peut :
-
Manipuler l’expression de \(u_n\) (factorisation, encadrement).
-
Démontrer par récurrence sur \(n\).
-
Utiliser la monotonie : une suite croissante est minorée par son premier terme ; une suite décroissante est majorée par son premier terme.
Exemple
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Montrer par récurrence que \(1 \leq u_n < 2\).
Suites arithmétiques
Définition
Définition
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) s’il existe \(r\) tel que :
\[(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} = u_n + r.\]
La raison \(r\) est la différence constante entre deux termes consécutifs.
Terme général
Proposition
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). Alors :
\[(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_n = u_0 + n r.\]
Plus généralement, pour tous \(n, p \in \mathbb{N}\) : \(u_n = u_p + (n - p) r\).
Démonstration
Par récurrence sur \(n\). \(P(n) : u_n = u_0 + nr\).
Init. \(u_0 = u_0 + 0 \cdot r\). OK.
Hér. Si \(u_n = u_0 + nr\), alors \(u_{n+1} = u_n + r = u_0 + nr + r = u_0 + (n+1) r\). OK.
Concl. La formule est vraie pour tout \(n\). La forme générale \(u_n = u_p + (n-p)r\) s’en déduit en éliminant \(u_0\). \(\square\)
Monotonie
Proposition
Soit \((u_n)\) arithmétique de raison \(r\).
-
Si \(r > 0\) : \((u_n)\) est strictement croissante.
-
Si \(r < 0\) : \((u_n)\) est strictement décroissante.
-
Si \(r = 0\) : \((u_n)\) est constante.
Somme de \(n\) termes consécutifs
Théorème
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique. La somme de \(n+1\) termes consécutifs vaut :
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n + 1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2} = \frac{(\text{nombre de termes}) \cdot (\text{premier} + \text{dernier})}{2}.\]
Plus généralement, pour \(p \leq q\) :
\[u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q = (q - p + 1) \cdot \frac{u_p + u_q}{2}.\]
Démonstration
On écrit la somme deux fois, une fois croissante, une fois décroissante :
\[\begin{align*} S &= u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} + u_n \\ S &= u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1 + u_0 \end{align*}\]
En additionnant terme à terme : chaque colonne donne \(u_k + u_{n-k} = u_0 + u_n\) (somme constante pour une suite arithmétique : \(u_k + u_{n-k} = (u_0 + kr) + (u_0 + (n-k)r) = 2u_0 + nr = u_0 + u_n\)). D’où \(2S = (n+1)(u_0 + u_n)\), soit \(S = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\). \(\square\)
Exemple
Calculer \(S = 1 + 4 + 7 + 10 + \cdots + 100\).
Suites géométriques
Définition
Définition
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \in \mathbb{R}\) s’il existe \(q\) tel que :
\[(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_{n+1} = q \cdot u_n.\]
Si \(u_0 \neq 0\) et \(q \neq 0\), le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant égal à \(q\).
Terme général
Proposition
Soit \((u_n)\) géométrique de premier terme \(u_0\) et raison \(q\). Alors :
\[(\forall n \in \mathbb{N})\;\; u_n = u_0 \cdot q^n.\]
Plus généralement : \(u_n = u_p \cdot q^{n - p}\).
Monotonie
Proposition
Soit \((u_n)\) géométrique avec \(u_0 > 0\) et \(q > 0\).
-
Si \(q > 1\) : \((u_n)\) est strictement croissante.
-
Si \(0 < q < 1\) : \((u_n)\) est strictement décroissante.
-
Si \(q = 1\) : \((u_n)\) est constante.
Si \(u_0 > 0\) et \(q < 0\), la suite n’est pas monotone (alternance de signes).
Somme de \(n\) termes consécutifs
Théorème
Soit \((u_n)\) géométrique de raison \(q \neq 1\). La somme de \(n + 1\) termes consécutifs vaut :
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]
Démonstration
On note \(S = u_0 (1 + q + q^2 + \cdots + q^n)\). Posons \(T = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n\).
Alors \(q T = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}\), d’où \(T - q T = 1 - q^{n+1}\), soit \(T(1 - q) = 1 - q^{n+1}\).
Comme \(q \neq 1\), \(T = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\). D’où la formule. \(\square\)
Exemple
Calculer \(S = 2 + 6 + 18 + 54 + \cdots + 4374\).
Caractérisation d’une suite arithmétique ou géométrique
Méthode
Pour reconnaître :
\(\bullet\)Suite arithmétique : \(u_{n+1} - u_n\) constant (ne dépend pas de \(n\)).
\(\bullet\)Suite géométrique : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) constant (si défini).
Exemple
La suite \(u_n = 5n + 7\) est-elle arithmétique ?
Application
-
Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_3 = 7\) et \(u_8 = 22\). Déterminer \(u_0\) et \(r\). En déduire \(u_{20}\).
-
Soit \((v_n)\) géométrique avec \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\). Déterminer \(v_0\) et \(q\). Calculer \(\displaystyle \sum_{k=0}^{10} v_k\).
-
Calculer \(S = 100 + 95 + 90 + \cdots + 5\).
-
Calculer \(S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} + \cdots + \dfrac{(-1)^{10}}{2^{10}}\).
Synthèse
Tableau récapitulatif
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Récurrence | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = q u_n\) |
| Terme général | \(u_n = u_0 + nr\) | \(u_n = u_0 q^n\) |
| Caractérisation | \(u_{n+1} - u_n\) constant | \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) constant (\(\neq 0\)) |
| Monotonie | \(r > 0\) : croissante | \(u_0, q > 0\) et \(q > 1\) : croissante |
| \(r < 0\) : décroissante | \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) : décroissante | |
| Somme \(u_0 + \cdots + u_n\) | \(\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\) | \(u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) (si \(q \neq 1\)) |
Pièges classiques
Remarque
-
Confondre raison arithmétique et raison géométrique.
-
Indices et nombre de termes. La somme \(u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q\) compte \(q - p + 1\) termes.
-
Formule de somme géométrique avec \(q = 1\). La formule générale ne s’applique pas pour \(q = 1\) : si \(q = 1\), la suite est constante et la somme vaut \((n+1) u_0\).
-
Suite récurrente non-arithmétique-géométrique. Toutes les suites n’ont pas de formule explicite simple.
-
Monotonie de suite géométrique à raison négative. Il y a alternance, donc pas de monotonie.
Fin du chapitre 4 – Généralités sur les suites numériques