Série d’exercices

1. Soit \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{n^2 + 1}{n + 1}\) pour \(n \geq 0\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\), \(u_{10}\).

2. Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 2\) et \(v_{n+1} = \dfrac{v_n + 3}{v_n + 1}\). Calculer \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\).

3. Soit \((w_n)\) définie par \(w_0 = 0\), \(w_1 = 1\), \(w_{n+2} = 3 w_{n+1} - 2 w_n\). Calculer \(w_2\), \(w_3\), \(w_4\). Conjecturer une formule explicite et la démontrer par récurrence.

Étudier la monotonie des suites suivantes en utilisant la méthode adaptée.

1. \(u_n = n^2 - 6n + 5\), pour \(n \in \mathbb{N}\).

2. \(u_n = \dfrac{n + 1}{n + 2}\), pour \(n \in \mathbb{N}\).

3. \(u_n = \dfrac{3^n}{n + 1}\), pour \(n \in \mathbb{N}\) (indication : étudier \(u_{n+1}/u_n\)).

4. \(u_n = \sqrt{n^2 + 1} - n\), pour \(n \in \mathbb{N}\) (indication : quantité conjuguée).

5. \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2 u_n}\) (montrer par récurrence que \(u_n > 0\), puis comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n\)).

1. Montrer que la suite \(u_n = \dfrac{n}{n + 1}\) est bornée, et préciser des bornes optimales.

2. Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 0\), \(v_{n+1} = \dfrac{v_n + 4}{2}\).

   1. Montrer par récurrence que \(0 \leq v_n \leq 4\).

   2. Montrer que \((v_n)\) est croissante.

3. Soit \(u_n = \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{3}\right) + 2\). Montrer que \((u_n)\) est bornée et préciser un majorant et un minorant.

1. Montrer que la suite \(u_n = 7 - 4n\) est arithmétique. Préciser \(u_0\) et la raison.

2. Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_4 = -2\) et \(u_{10} = 16\). Déterminer \(u_0\) et \(r\). Calculer \(u_{50}\).

3. Soit \((u_n)\) arithmétique de premier terme \(u_0 = -5\) et de raison \(r = 2\). À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n \geq 100\) ?

1. Calculer \(S_1 = 3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 99\).

2. Calculer \(S_2 = 1 + 2 + 3 + \cdots + 1000\).

3. Calculer la somme des entiers impairs entre \(1\) et \(199\) inclus.

4. Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 1\), raison \(r = 2\). Trouver \(n\) tel que \(\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k = 2500\).

1. Montrer que la suite \(u_n = 3 \cdot 2^n\) est géométrique. Préciser \(u_0\) et la raison.

2. Soit \((u_n)\) géométrique à termes positifs avec \(u_2 = 18\) et \(u_5 = 486\). Déterminer \(u_0\) et \(q\). Calculer \(u_{10}\).

3. Soit \((u_n)\) géométrique de raison \(q = \tfrac{1}{2}\) et de premier terme \(u_0 = 256\). Trouver \(n\) tel que \(u_n \leq 1\).

1. Calculer \(S_1 = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024\).

2. Calculer \(S_2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{8} 3^k\).

3. Calculer \(S_3 = 1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} - \tfrac{1}{27} + \cdots + \tfrac{(-1)^{10}}{3^{10}}\).

4. Calculer \(S_4 = \displaystyle\sum_{k=1}^{20} 5 \cdot 2^k\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = u_n + (2n + 1)\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).

2. Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - n^2\) est constante.

3. En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 2 u_n + 3\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).

2. Soit \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n + 3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.

3. En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

4. Calculer \(\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k\) en fonction de \(n\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)\).

1. Montrer par récurrence que \(u_n > 0\) pour tout \(n\).

2. Montrer par récurrence que \(u_n \geq \sqrt{2}\) pour tout \(n \geq 0\).

3. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.

On place un capital initial \(C_0 = 10\,000\) dirhams au taux annuel \(4{,}5\,\%\) (intérêts composés annuellement). On note \(C_n\) le capital après \(n\) années.

1. Exprimer \(C_{n+1}\) en fonction de \(C_n\). Reconnaître la nature de la suite \((C_n)\).

2. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).

3. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?