Table des matières
Généralités sur les suites numériques
Définition
Soit \(p \in \mathbb{N}\) et \(I = \{n \in \mathbb{N} \,/\, n \geq p\}\).
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Toute fonction numérique \(u\) définie sur \(I\) est appelée suite numérique. L’image par \(u\) d’un entier \(n \in I\) est notée \(u_n\), et l’on appelle \(u_n\) le terme général de la suite. On note \((u_n)_{n \in I}\) ou \((u_n)_{n \geq p}\).
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Une suite peut être définie de deux manières :
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Explicitement par son terme général en fonction de \(n\) (ex. \(u_n = 2^n - 1\)).
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Récurrente par son ou ses premiers termes et une relation de récurrence (ex. \(u_0 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 3\)).
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Exemple
On considère les suites :
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\((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) avec \(u_n = 2 + \dfrac{3}{n}\) ;
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\((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) avec \(\begin{cases} v_0 = 2 \\ v_{n+1} = \dfrac{v_n}{1+v_n} \end{cases}\) ;
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\((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) avec \(\begin{cases} w_0=2,\ w_1=-1 \\ w_{n+2} = 2w_{n+1} + w_n \end{cases}\)
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Calculer les trois premiers termes de \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\).
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Exprimer \(u_{n+1}\), \(u_{n}+1\), \(u_{2n}\) et \(u_{2n+1}\) en fonction de \(n\).
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Trouver l’indice \(n\) tel que \(u_n=\dfrac{43}{21}\).
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Montrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N},\ v_n = \dfrac{2}{2n+1}\).
Application
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = (-1)^n \cdot n + 1\).
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Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
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Donner l’expression de \(u_{2n}\) et de \(u_{2n+1}\) en fonction de \(n\).
Suites majorées, minorées, bornées
Définition
Soit \((u_n)_{n \in I}\) une suite numérique.
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\((u_n)\) est majorée s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in I,\ u_n \leq M\).
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\((u_n)\) est minorée s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in I,\ u_n \geq m\).
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\((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. De manière équivalente : \(\exists M \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall n \in I,\ |u_n| \leq M\).
Exemple
On considère les suites :
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\(u_n = \dfrac{n+4}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\) ;
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\(\begin{cases} v_0 = 2 \\ v_{n+1} = \dfrac{1}{5}v_n + \dfrac{4}{5} \end{cases}\) ;
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\(w_n = 2\cos(n^2 + 2) + 1\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
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Montrer que \(1 \leq u_n \leq 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
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Montrer par récurrence que la suite \((v_n)\) est minorée par \(1\).
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Montrer que la suite \((w_n)\) est bornée. Donner un majorant et un minorant.
Application
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(\begin{cases} u_0 = 4 \\ u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 3}{u_n} \end{cases}\).
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Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
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Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geq 3\).
Exercice n°1
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} \end{cases}\). Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ 0 \leq u_n \leq 3\).
Monotonie d’une suite
Définition
Soit \((u_n)_{n \in I}\) une suite numérique.
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\((u_n)\) est croissante si \(\forall n \in I,\ u_{n+1} \geq u_n\).
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\((u_n)\) est décroissante si \(\forall n \in I,\ u_{n+1} \leq u_n\).
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\((u_n)\) est constante si \(\forall n \in I,\ u_{n+1} = u_n\).
Conséquence. Si \((u_n)_{n \geq p}\) est croissante, alors \(u_n \geq u_p\) pour tout \(n \geq p\) ; si elle est décroissante, \(u_n \leq u_p\).
Exemple
Étudier la monotonie des suites suivantes :
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\(x_n = 2n - 3\)
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\(y_n = 5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)
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\(u_n = \dfrac{3}{n+1}\)
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\(u_n = n^2 + 2n\)
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\(u_n = \sqrt{n+1}\)
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\(u_n = (-1)^n\)
Application
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(\begin{cases} u_0 = 6 \\ u_{n+1} = 4 - \dfrac{3}{u_n} \end{cases}\).
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Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
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Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n > 3\).
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Vérifier que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1-u_n)(u_n - 3)}{u_n}\).
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Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire que \(u_n \leq 6\) pour tout \(n\).
Exercice n°2
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(\begin{cases} v_0 = 3 \\ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(v_n + \dfrac{4}{v_n}\right) \end{cases}\).
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Calculer \(v_1\) et \(v_2\).
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Montrer que \((v_n)\) est minorée par \(2\).
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Étudier la monotonie de \((v_n)\).
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En déduire que \((v_n)\) est majorée par \(3\).
Suite arithmétique
Définition
Une suite \((u_n)_{n \in I}\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \in I,\ u_{n+1} = u_n + r\).
Proposition
Soit \((u_n)_{n \in I}\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_p\).
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Terme général : \(u_n = u_p + (n - p) \cdot r\) pour tout \(n \geq p\). En particulier, si \(p = 0\) : \(u_n = u_0 + n \cdot r\).
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Somme des termes consécutifs : pour \(p \leq n\),
\[S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = (n - p + 1) \times \dfrac{u_p + u_n}{2}.\]
Exemple
On considère les suites arithmétiques suivantes :
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\((u_n)\) avec \(u_0 = 5\) et \(u_{100} = -45\) ;
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\((v_n)\) avec \(v_3 = 2\) et \(v_7 = 14\).
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Déterminer la raison et le premier terme de chacune.
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Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
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Calculer la somme \(S = v_4 + v_5 + \cdots + v_{25}\).
Application
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_1 = 5\) et \(r = 2\).
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Calculer \(u_5\), \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
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Déterminer le terme général de la suite \((u_n)\).
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\(203\) est-il un terme de la suite \((u_n)\) ?
Exercice n°3
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{5u_n - 1}{u_n + 3} \end{cases}\). On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}\).
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Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n > 1\).
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Étudier la monotonie de \((u_n)\).
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Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
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Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Calculer \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_n\).
Suite géométrique
Définition
Une suite \((u_n)_{n \in I}\) est géométrique de raison \(q \in \mathbb{R}\) si \(\forall n \in I,\ u_{n+1} = q \cdot u_n\).
Proposition
Soit \((u_n)_{n \in I}\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_p\).
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Terme général : \(u_n = u_p \cdot q^{n - p}\) pour tout \(n \geq p\). En particulier, si \(p = 0\) : \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
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Somme des termes consécutifs : pour \(p \leq n\),
\[S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \begin{cases} u_p \cdot \dfrac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} & \text{si } q \neq 1 \\ (n - p + 1) \cdot u_p & \text{si } q = 1. \end{cases}\] -
Cas particulier : pour \(q \neq 1\), \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
Exemple
On considère les suites suivantes :
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\(u_n = -7 \times 5^n\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\) ;
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\(v_n = n^2 + 5\) pour \(n \in \mathbb{N}\) ;
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\((w_n)\) géométrique avec \(w_2 = \dfrac{3}{16}\) et \(w_5 = \dfrac{3}{1024}\) ;
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\((t_n)\) géométrique avec \(q = 3\) et \(t_4 = 12\).
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Pour \((u_n)\) et \((v_n)\), dire (avec justification) si elles sont géométriques.
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Pour \((w_n)\), déterminer la raison \(q\) et exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).
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Pour \((t_n)\), calculer la somme \(S = t_4 + t_5 + \cdots + t_{2026}\).
Application
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(\begin{cases} u_0 = -2 \\ u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n - 1 \end{cases}\). On pose \(v_n = u_n + 3\).
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Montrer que \((v_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
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Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
Exercice n°4
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} \end{cases}\). On pose \(v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}\).
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Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ 0 \leq u_n < 1\). En déduire la monotonie de \((u_n)\).
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Montrer que \((v_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
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Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Calculer \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_n\).