Série d’exercices

Calculer les trois premiers termes de chacune des suites suivantes :

1. \(u_n = \dfrac{n^2 + 1}{n + 2}\), \(n \in \mathbb{N}\).

2. \(\begin{cases}v_0 = 1 \\ v_{n+1} = 2v_n + 3\end{cases}\).

3. \(w_n = (-1)^n \cdot 2^n\).

4. \(\begin{cases}t_0 = 1, t_1 = 2 \\ t_{n+2} = t_{n+1} + t_n\end{cases}\).

Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :

1. \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\).

2. \(v_n = \dfrac{1}{2^n}\).

3. \(w_n = n^2 - 5n\).

4. \(t_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

2. Montrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N},\ 0 \le u_n \le 2\).

3. Étudier la monotonie de \((u_n)\).

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\) telle que \(u_2 = 5\) et \(u_8 = 23\).

1. Calculer \(r\) et \(u_0\).

2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3. Calculer la somme \(S = u_5 + u_6 + \cdots + u_{50}\).

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) telle que \(v_1 = 6\) et \(v_4 = 162\).

1. Calculer \(q\) et \(v_0\).

2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

3. Calculer la somme \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(v_n = u_n - 2\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

2. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

4. Calculer la somme \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n}\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 8}{u_n + 2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n > 2\).

2. On pose \(v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 4}\). Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(-\dfrac{1}{2}\).

3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Démontrer par récurrence les propositions suivantes :

1. \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\).

2. \(\forall n \in \mathbb{N},\ 5^n - 1\) est divisible par \(4\).

3. \(\forall n \ge 4,\ 2^n \ge n^2\).

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 100\) et de raison \(r = -3\).

1. À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n \le 0\) ?

2. À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n \le -50\) ?

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).

2. On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.

3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = \dfrac{2^n + 3^n}{3^n}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).

2. Montrer que \(u_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 1\).

3. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

Une bille tombe d’une hauteur de \(10\) mètres et rebondit. À chaque rebond, elle remonte aux \(\dfrac{4}{5}\) de la hauteur précédente. Soit \(h_n\) la hauteur atteinte après le \(n\)-ième rebond.

1. Justifier que \((h_n)\) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. Calculer la hauteur atteinte après le \(5\)-ième rebond.

3. Calculer la distance totale parcourue par la bille.