Vecteurs de l’espace SM
Table des matières
Vecteurs de l’espace
1ère Année Baccalauréat – Sciences Mathématiques
Calcul vectoriel dans l’espace
Vecteurs dans l’espace
Définition
Dans l’espace, à tout couple de points \((A, B)\) on associe un vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Deux couples \((A, B)\) et \((C, D)\) représentent le même vecteur ssi \(ABDC\) est un parallélogramme.
Opérations
Proposition
L’addition et la multiplication par un scalaire sont définies comme dans le plan :
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad (\text{Chasles}) \quad ; \quad \lambda (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \lambda \overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}.\]
Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) :
(a) Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\).
(b) Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\).
(c) Vecteur nul : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\).
(d) Opposé : \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\).
(e) Distributivité : \(\lambda (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v}\) et \((\lambda + \mu) \vec{u} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{u}\).
(f) \(\lambda (\mu \vec{u}) = (\lambda \mu) \vec{u}\).
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de l’espace sont colinéaires si l’un est multiple de l’autre :
\[\exists \lambda \in \mathbb{R} : \quad \vec{v} = \lambda \vec{u} \quad \text{ou} \quad \vec{u} = \lambda \vec{v}.\]
Remarque
Si \(\vec{u} \neq \vec{0}\), \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ssi \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\).
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur.
Proposition
Trois points \(A, B, C\) sont alignés ssi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (ou confondues) ssi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Coplanarité de trois vecteurs
Définition
Définition
Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) de l’espace sont coplanaires si leurs représentants partant d’un même point \(O\) sont dans un même plan.
Plus formellement : \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires ssi il existe \(A, B, C, D\) coplanaires tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\), \(\vec{w} = \overrightarrow{AD}\).
Caractérisation vectorielle
Théorème
Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs de l’espace.
\(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires ssi il existe \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\), non tous nuls, tels que :
\[\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w} = \vec{0}.\]
De manière équivalente, si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires : \(\vec{w}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : il existe \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}\).
Proposition
Quatre points \(A, B, C, D\) sont coplanaires ssi \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) sont coplanaires, ssi il existe \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que \(\overrightarrow{AD} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\) (sous condition que \(A, B, C\) ne soient pas alignés).
Bases et repères
Définition
Trois vecteurs \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) non coplanaires forment une base de l’espace. Tout vecteur \(\vec{u}\) de l’espace s’écrit de manière unique sous la forme :
\[\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}, \quad (x, y, z) \in \mathbb{R}^3.\]
\((x, y, z)\) sont les coordonnées de \(\vec{u}\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Si l’on ajoute un point \(O\) (origine), \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est un repère de l’espace. Tout point \(M\) a alors des coordonnées \((x, y, z)\) telles que \(\overrightarrow{OM} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}\).
Coordonnées et colinéarité, coplanarité
Proposition
Dans une base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) de l’espace, soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x', y', z')\).
\(\bullet\)\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires ssi les déterminants \(2\times 2\) extraits s’annulent : \(xy' - yx' = xz' - zx' = yz' - zy' = 0\).
\(\bullet\)Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires ssi le déterminant \(3 \times 3\) associé s’annule :
\[\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = 0.\]
Coordonnées et calcul
Proposition
Dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), si \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\) :
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, \, y_B - y_A, \, z_B - z_A).\]
Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées :
\[I\!\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \, \frac{y_A + y_B}{2}, \, \frac{z_A + z_B}{2}\right).\]
Exemple
Dans un repère, soient \(A(1, 2, 3)\), \(B(4, -1, 0)\), \(C(2, 5, 1)\).
\(\overrightarrow{AB} = (3, -3, -3)\), \(\overrightarrow{AC} = (1, 3, -2)\).
Coplanarité avec \(\vec{w} = (5, -3, -8)\) ? Calculons :
\[\det = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -3 & 3 & -3 \\ -3 & -2 & -8 \end{vmatrix}.\]
Développement selon la 1ère ligne :
\[3 \cdot (3 \cdot (-8) - (-3) \cdot (-2)) - 1 \cdot ((-3) \cdot (-8) - (-3) \cdot (-3)) + 5 \cdot ((-3)(-2) - 3 \cdot (-3))\]
\[= 3 \cdot (-24 - 6) - 1 \cdot (24 - 9) + 5 \cdot (6 + 9) = 3 \cdot (-30) - 15 + 75 = -90 - 15 + 75 = -30 \neq 0.\]
Donc \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
Synthèse
Récapitulatif
| Notion | Caractérisation |
|---|---|
| Colinéarité de \(\vec{u}, \vec{v}\) | \(\exists \lambda \in \mathbb{R},\, \vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \vec{0}\)) |
| \(A, B, C\) alignés | \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires |
| Coplanarité de \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) | \(\exists \alpha, \beta, \gamma\) non tous nuls, \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) |
| \(A, B, C, D\) coplanaires | \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) coplanaires |
| Base de l’espace | 3 vecteurs non coplanaires |
| Déterminant \(3\times 3\) | test pratique de coplanarité |
Pièges classiques
Remarque
-
Confondre colinéarité (2 vecteurs) et coplanarité (3 vecteurs).
-
Coplanarité de 3 points. Trois points sont toujours coplanaires (ils définissent un plan).
-
Base de l’espace. Trois vecteurs coplanaires ne forment pas une base.
-
Combinaison linéaire à vérifier. Le système \(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} = \vec{w}\) doit admettre une solution compatible sur les trois coordonnées.
Fin du chapitre 5 – Vecteurs de l’espace