Série d’exercices

\(ABCDEFGH\) est un cube. On note \(I\) le milieu de \([EH]\) et \(J\) le milieu de \([CG]\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\).

2. Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\).

3. Démontrer que \(IJ\) et \(BD\) sont parallèles.

Dans un repère, soient \(\vec{u}(2, -3, 1)\), \(\vec{v}(4, -6, 2)\), \(\vec{w}(2, -3, 0)\).

1. Montrer que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

2. Montrer que \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires.

3. Trouver \(\lambda\) pour que \(\vec{u}\) et \((\lambda, -3, 1)\) soient colinéaires.

Soient \(A(1, 2, 3)\), \(B(4, 5, 6)\), \(C(7, 8, 9)\). Les points \(A, B, C\) sont-ils alignés ?

Soient \(\vec{u}(1, 2, -1)\), \(\vec{v}(2, -1, 3)\), \(\vec{w}(0, 5, -5)\).

1. Vérifier que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

2. Trouver \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}\). Conclure.

1. Calculer le déterminant \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) pour \(\vec{u}(1, 0, 2)\), \(\vec{v}(2, 1, 1)\), \(\vec{w}(0, 1, -3)\). Sont-ils coplanaires ?

2. Idem pour \(\vec{u}(1, 1, 1)\), \(\vec{v}(2, 3, -1)\), \(\vec{w}(3, 4, 0)\).

3. Trouver \(m \in \mathbb{R}\) pour que \(\vec{u}(1, m, 2)\), \(\vec{v}(2, 1, m)\), \(\vec{w}(m, 0, 1)\) soient coplanaires.

Soient \(A(0, 1, 1)\), \(B(2, 0, 3)\), \(C(1, 2, 0)\), \(D(3, 1, 2)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\).

2. Les quatre points sont-ils coplanaires ?

\(ABCD\) est un tétraèdre. On note \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([CD]\), et \(K, L\) les milieux respectifs de \([AC]\) et \([BD]\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) en fonction des arêtes du tétraèdre.

2. Démontrer que \(IKJL\) est un parallélogramme.

3. En déduire que \((IJ)\) et \((KL)\) se coupent en leur milieu commun.

Soit \(ABCD\) un tétraèdre et \(G\) son centre de gravité (isobarycentre des sommets).

1. Justifier l’existence de \(G\) et exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\).

2. Soit \(I\) le centre de gravité du triangle \(BCD\). Démontrer que \(G \in (AI)\) et que \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AI}\).

3. En déduire la concurrence des quatre médianes du tétraèdre.