Série d’exercices

1. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1, 0, -2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3, 1, 2)\).

2. Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) avec \(A(2, -1, 3)\) et \(B(4, 0, 1)\).

3. Soit \((D) : \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -t \end{cases}\). Donner \(A\) point et \(\vec{u}\) vecteur directeur. Vérifier si \(M(0, 7, -2)\) appartient à \((D)\).

1. Étudier la position relative de \((D_1) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 + t \end{cases}\) et \((D_2) : \begin{cases} x = -3 + 4s \\ y = 2 - 2s \\ z = 1 + 2s \end{cases}\).

2. Étudier la position de \((D_3) : \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = -t \end{cases}\) et \((D_4) : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = -s \\ z = 2 + s \end{cases}\).

1. Donner l’équation cartésienne du plan passant par \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\), \(C(0, 0, 4)\).

2. Donner l’équation cartésienne du plan passant par \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, -1)\), \(C(0, 2, 5)\).

3. Donner une représentation paramétrique du plan \((P) : 2x - y + 3z = 6\).

Soit \((P) : x + 2y - z + 4 = 0\).

1. Trouver 3 points du plan \((P)\).

2. Donner une représentation paramétrique de \((P)\).

3. À partir d’une représentation paramétrique donnée, retrouver une équation cartésienne en éliminant les paramètres.

1. Étudier la position relative de \((D) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2 + 2t \end{cases}\) et \((P) : x + y + z = 5\).

2. Si elles sont sécantes, donner le point d’intersection.

3. Étudier la position de \((D)\) et \((P') : 2x + 2y - z = 1\).

Étudier la position relative et l’intersection éventuelle de :

1. \((P_1) : x - 2y + z = 1\) et \((P_2) : 2x - 4y + 2z = -3\).

2. \((P_3) : 3x + y - 2z = 4\) et \((P_4) : x + y + z = 0\). Donner une représentation paramétrique de leur intersection.

3. \((P_5) : x + y + z = 1\) et \((P_6) : 2x + 2y + 2z = 2\).

On considère \((P_1) : x + y + z = 1\), \((P_2) : x - y + z = 0\), \((P_3) : x + y - z = 2\).

1. Étudier l’intersection des trois plans.

2. Si ils se coupent en un unique point, le déterminer.

\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\) dans un repère orthonormé \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\).

1. Donner les coordonnées des \(8\) sommets.

2. Donner l’équation cartésienne du plan \((BDG)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la droite \((AG)\).

4. Étudier la position relative de \((AG)\) et \((BDG)\).

On considère le tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(0, 3, 0)\), \(D(0, 0, 4)\).

1. Donner l’équation cartésienne du plan \((BCD)\).

2. Donner une représentation paramétrique de la médiane issue de \(A\) (vers le centre de gravité de \(BCD\)).

3. Donner les coordonnées du centre de gravité du tétraèdre.

On considère les plans \(P:x+y+z-2=0\) et \(Q:2x-y+z-1=0\).

1. Montrer que \(P\) et \(Q\) sont sécants.

2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.

3. Vérifier si le point \(A(1,1,0)\) appartient à cette droite.

Pour \(m\in\mathbb{R}\), soit \(P_m:(m-1)x+2y+mz-3=0\).

1. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(P_m\) est parallèle au plan \(x-2y+z=0\).

2. Déterminer \(m\) pour que \(A(1,0,1)\in P_m\).

Soient \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\) et la droite \(d:(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,-1,2)\).

1. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

2. Étudier la position relative de \(d\) et \((ABC)\).

3. S’ils sont sécants, déterminer leur point d’intersection.