Série d’exercices

1. Une plaque d’immatriculation est formée de deux lettres (parmi \(26\)) suivies de trois chiffres (de \(0\) à \(9\)).

   1. Combien de plaques peut-on former ?

   2. Combien de plaques ont deux lettres distinctes ?

   3. Combien de plaques ont trois chiffres distincts ?

2. Une association de \(50\) membres élit un bureau de \(5\) personnes (président, vice-président, secrétaire, trésorier, vice-trésorier ; sans cumul). Combien de bureaux possibles ?

3. Combien d’anagrammes du mot « ANANAS » ? du mot « MISSISSIPPI » ?

4. De combien de façons \(8\) personnes peuvent-elles s’asseoir sur un banc ? Et si deux amis donnés veulent rester côte à côte ?

1. Calculer \(C_7^3\), \(C_{10}^3\), \(C_{20}^{18}\) (utiliser la symétrie).

2. Une urne contient \(4\) boules blanches et \(6\) noires. On tire simultanément \(3\) boules. Combien de tirages contiennent :

   1. exactement \(1\) blanche ?

   2. exactement \(2\) blanches ?

   3. au moins \(1\) blanche ?

   4. \(3\) noires ?

3. À l’aide du binôme de Newton, développer \((3x + 1)^4\) et \((x + y)^6\).

4. Démontrer que \(\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,C_n^k = 0\) (indication : développer \((1 - 1)^n\)).

5. Démontrer la formule de Pascal : \(C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}\) pour \(0 \leq p < n\).

Un sac contient \(5\) boules rouges, \(4\) vertes, \(3\) blanches. On tire simultanément \(3\) boules.

1. Calculer le nombre total de tirages.

2. Calculer la probabilité de chaque événement :

   • \(A\) : « \(3\) boules rouges »

   • \(B\) : « \(3\) boules de même couleur »

   • \(C\) : « \(3\) couleurs distinctes »

   • \(D\) : « exactement \(1\) rouge »

   • \(E\) : « au moins \(1\) blanche »

   • \(F\) : « aucune blanche »

3. Calculer \(P(D \cap E)\) et \(P(D \cup E)\).

1. On lance une pièce non truquée \(4\) fois successivement.

   1. Déterminer le cardinal de \(\Omega\).

   2. Soient \(A\) : « obtenir Face exactement deux fois », \(B\) : « obtenir Face au moins une fois » et \(C\) : « obtenir Face aux deux premiers lancers ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\), \(P(A \cap C)\) et \(P(A \cup C)\).

2. On lance un dé cubique non truqué deux fois successivement. On note \((a, b)\) le résultat.

   1. Donner \(\Omega\) et son cardinal.

   2. Soient \(A\) : « les deux nombres sont égaux », \(B\) : « les deux nombres sont pairs », \(C\) : « le produit est \(12\) ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\), \(P(A \cap B)\), \(P(A \cup C)\).

Une classe de \(23\) élèves :

On choisit un élève au hasard (équiprobabilité). Soient \(G\) : « garçon », \(F\) : « fille », \(I\) : « redoublant ».

1. Calculer \(P(G)\), \(P(F)\), \(P(I)\).

2. Calculer \(P(G \cap I)\) et \(P(F \cap I)\).

3. Sachant que l’élève est un garçon, calculer \(P(I \mid G)\).

4. Calculer \(P(F \mid I)\), \(P(G \mid I)\). Interpréter.

5. Les événements \(G\) et \(I\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Deux urnes :

• \(U_1\) contient \(7\) billets de \(20\) MAD et \(3\) billets de \(50\) MAD.

• \(U_2\) contient \(5\) billets de \(50\) MAD et \(5\) billets de \(100\) MAD.

On tire un billet de \(U_1\) puis un billet de \(U_2\).

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité de gagner exactement \(120\) MAD.

3. Calculer la probabilité de gagner au moins \(100\) MAD.

4. Sachant que le gain total est \(\geq 100\) MAD, calculer la probabilité que le premier tirage soit un billet de \(50\) MAD.

Une maladie touche \(5\%\) des bovins d’un élevage. Un test est positif chez \(90\%\) des malades et négatif chez \(96\%\) des sains. On note \(M\) : « malade » et \(T\) : « test positif ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer \(P(M \cap T)\), \(P(\overline{M} \cap T)\), et en déduire \(P(T)\).

3. Calculer \(P(M \mid T)\). Commenter le résultat.

4. Calculer \(P(\overline{M} \mid \overline{T})\).

Une urne contient \(6\) jetons numérotés de \(1\) à \(6\), indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Soit \(X\) le gain défini par :

• Si le numéro est pair : on gagne \(5\) DH.

• Si le numéro est \(1\) : on gagne \(40\) DH.

• Sinon (numéro \(3\) ou \(5\)) : on perd \(15\) DH.

1. Déterminer \(X(\Omega)\) et la loi de probabilité de \(X\).

2. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).

3. Le jeu est-il favorable, défavorable ou équitable ?

4. On joue à ce jeu \(100\) fois. Quel gain peut-on espérer en moyenne ?

Un tireur d’arc atteint la cible avec une probabilité \(p = \dfrac{3}{4}\) à chaque tir. Il effectue \(10\) tirs indépendants. Soit \(X\) le nombre de cibles atteintes.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

3. Calculer (au millième près) :

   1. \(P(X = 6)\)

   2. \(P(X = 0)\)

   3. \(P(X \geq 8)\)

   4. \(P(X \leq 5)\)

4. Quel est le nombre minimum de tirs nécessaires pour que la probabilité de toucher la cible au moins une fois soit \(\geq 0{,}99\) ?

Une usine produit des pièces avec deux machines : \(30\%\) des pièces proviennent de la machine \(A\) (dont \(2\%\) sont défectueuses) et \(70\%\) de la machine \(B\) (dont \(4\%\) sont défectueuses). On note \(A\) : « la pièce provient de la machine \(A\) » et \(D\) : « la pièce est défectueuse ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré et calculer \(P(D)\).

2. Une pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine \(A\).

3. Les événements \(A\) et \(D\) sont-ils indépendants ? Justifier.

4. On choisit \(n\) pièces indépendamment. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses. Quelle est la loi de \(X\) ?

   1. Pour \(n = 50\), exprimer puis calculer \(P(X > 2)\) à \(10^{-3}\) près.

   2. Déterminer la plus grande valeur de \(n\) pour laquelle la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse reste \(\geq 0{,}4\).