Série de révision N°1
Exercice n°1 : Limites
Calculer les limites suivantes :
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\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+2}{x^3+x+5}\)
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\(\lim\limits_{x\to2}(-x^2+x-8)\)
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\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2x-2}{x^2+4x-5}\)
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\(\lim\limits_{x\to-\infty}(-5x^4-2x^2+x-1)\)
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\(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+3}}{x-2}\)
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\(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)
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\(\lim\limits_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+7}-x)\)
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\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+2x-2}{x^2+1}\)
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\(\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{2x^2+x+1}-x)\)
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\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-3}\)
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\(\lim\limits_{x\to-\infty}(\sqrt{5x^2+x-1}+2x+1)\)
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\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan(3x)}{\sin x}\)
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\(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{2\sin x-\sqrt2}{2x-\frac{\pi}{2}}\)
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\(\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{x+3}{x-2}\)
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\(\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{x+3}{x-2}\)
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\(\lim\limits_{x\to-1^+}\dfrac{3x-2x^2}{x-x^3}\)
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\(\lim\limits_{x\to\pi^+}\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\)
Exercice n°2 : Limites d’une fonction rationnelle
Soit \(f\) la fonction définie par
\(f(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{x-2}\).
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Déterminer \(D_f\).
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Calculer les limites de \(f\)
aux bornes de \(D_f\).
Exercice n°3 : Limites et raccordement
Soit \(f\) la fonction définie par
\[f(x)=\begin{cases} x^3-\dfrac18 & \text{si }x>\dfrac12,\\ 1-2x & \text{si }x\leq\dfrac12. \end{cases}\]
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Calculer \(\lim\limits_{x\to\frac12^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to\frac12^-}f(x)\).
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La fonction \(f\) admet-elle une
limite en \(\dfrac12\) ?
Exercice n°4 : Dérivabilité en un point
Soit \(a\in\mathbb R\) et \[f(x)=\begin{cases} 2x^2+3x+1 & \text{si }x>0,\\ ax+1 & \text{si }x\leq0. \end{cases}\] Déterminer \(a\)
pour que \(f\) soit dérivable en \(0\).
Exercice n°5 : Calcul de dérivées
Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis la fonction dérivée dans
chacun des cas suivants :
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\(f(x)=x^5-\dfrac12x^3+7x^2+1\)
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\(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\)
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\(f(x)=\dfrac{-x^2}{x-2}\)
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\(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}\)
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\(f(x)=\sqrt{x^2+3x+1}\)
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\(f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac1x\)
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\(f(x)=\dfrac{5x^2+8x+4}{(x+2)^2}\)
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\(f(x)=\dfrac{\sin(2x-8)\cos x}{\sin^2x}\)
Exercice n°6 : Lecture graphique
La courbe \((C_f)\) ci-dessous
représente une fonction \(f\).
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Déterminer \(D_f\).
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Déterminer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)\).
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Résoudre graphiquement \(f(x)=0\).
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Résoudre graphiquement \(f(x)<0\), puis \(f(x)>0\).
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Déterminer graphiquement le signe de \(f'(x)\).
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Dresser le tableau de variations de \(f\).
Exercice n°7 : Étude d’une fonction rationnelle
Soit \(f(x)=3(x-1)+\dfrac{1}{(x-1)^3}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère
orthonormé.
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Déterminer \(D_f\).
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Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\).
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Montrer que, pour tout \(x\in D_f\), \[f'(x)=3\dfrac{(x^2-2x)(x^2-2x+2)}{(x-1)^4},\]
puis étudier les variations de \(f\)
sur \(]1,+\infty[\). -
Montrer que \(A(1,0)\) est un
centre de symétrie de \((C_f)\). -
Déterminer l’asymptote oblique de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\), puis tracer \((C_f)\).
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Résoudre graphiquement \(f(x)-3x+2\geq0\).
Exercice n°8 : Étude d’une fonction avec radical
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R^+\) par \(f(x)=2(x-2)\sqrt{x}-x\), et \((C_f)\) sa courbe.
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Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\),
puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\) et
interpréter le résultat. -
Étudier la dérivabilité de \(f\)
à droite en \(0\) et interpréter
géométriquement. -
Montrer que, pour tout \(x>0\), \[f'(x)=\dfrac{(\sqrt{x}-1)(3\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}},\]
puis dresser le tableau de variations de \(f\). -
Calculer \(f(2)\) et \(f(3)\), puis tracer \((C_f)\) (unité : \(2\) cm).
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Suivant les valeurs de \(m\),
déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(f(\sin t)=m\) pour \(t\in[0,\pi]\).
Exercice n°9 : Exploitation d’un tableau de variations
La fonction \(f\) est décrite par le
tableau de variations suivant :
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Déterminer \(D_f\).
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Déterminer \(f(-2)\) et \(f(2)\).
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Déterminer les extremums locaux de \(f\).
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Déterminer le signe de \(f\) sur
\(D_f\).
Exercice n°10 : Suites arithmétique et géométrique
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose
\(u_n=5n+1\) et \(v_n=3\left(\dfrac12\right)^n\).
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Calculer \(u_0\) et \(u_{20}\), préciser la nature et la raison
de \((u_n)\), puis calculer \(S_1=u_0+u_1+\cdots+u_{20}\). -
Calculer \(v_0\), préciser la
nature et la raison de \((v_n)\), puis
calculer \(S_2=v_0+v_1+\cdots+v_{10}\).
Exercice n°11 : Suite homographique
On considère la suite \((u_n)\)
définie par \[u_0=0\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{3-u_n}\quad(n\in\mathbb N),\] et l’on pose
\(v_n=\dfrac{2}{1-u_n}\).
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Montrer que \(u_n<1\) pour
tout \(n\in\mathbb N\). -
Montrer que \((v_n)\) est
arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. -
Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
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Pour \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\),
exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\).