Série de révision N°1

Donner la négation de chacune des propositions suivantes, puis
déterminer sa valeur de vérité.

1. \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\; x+y=1\).

2. \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\; xy=y\).

3. \((\forall n\in\mathbb{N})\; n^2+n\text{ est pair}\).

On considère \[P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12.\]

1. Vérifier que \(2\) et \(-1\) sont des racines de \(P\).

2. Factoriser complètement \(P\)
   dans \(\mathbb{R}[x]\).

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\)
   l’équation \(P(x)=0\).

Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-2}\).

1. Déterminer \(D_f\) et les
   limites aux bornes de \(D_f\).

2. Calculer \(f'(x)\), puis
   dresser le tableau de variations de \(f\).

3. Déterminer les asymptotes à la courbe de \(f\).

La suite \((u_n)\) est définie par
\(u_0=2\) et \[u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2}.\]

1. Montrer que \(0<u_n<3\)
   pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\).

3. Justifier sa convergence, puis déterminer sa limite.

Résoudre dans \([0,2\pi]\)
l’équation \[\cos(2x)=\sin x.\]

Soient \(a,b\in\mathbb{R}_+^*\).
Montrer que \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2,\] puis
préciser le cas d’égalité.

1. Calculer \(\operatorname{PGCD}(2026,1178)\) par
   l’algorithme d’Euclide.

2. Déterminer une relation de Bézout associée.

3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\)
   l’équation \(2026x+1178y=2\).

Dans le plan, soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non alignés. On considère
le barycentre \[G=\operatorname{bar}\{(A,2),(B,-1),(C,3)\}.\]

1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\)
   en fonction de \(\overrightarrow{AB}\)
   et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Construire le point \(G\).

Dans un repère de l’espace, on donne \[A(1,0,2),\quad B(3,-1,1),\quad C(0,2,4).\]

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(7^n-1\) est divisible par \(6\).