Série d’exercices

1. Parmi \(231\), \(1232\), \(9438\), \(7777\), \(20\,355\), lesquels sont divisibles par \(3\) ? par \(9\) ? par \(11\) ?

2. Trouver les chiffres \(a, b\) tels que \(\overline{8a5b}\) soit divisible par \(45\).

3. Trouver le chiffre \(a\) tel que \(\overline{15a6}\) soit divisible par \(11\).

Soient \(a, b, c \in \mathbb{Z}\).

1. Démontrer que si \(a \mid b\) et \(a \mid c\), alors \(a \mid (3b - 2c)\).

2. Démontrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(3 \mid n^3 - n\).

3. Démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(6 \mid n(n+1)(n+2)\).

Donner le quotient et le reste dans la division euclidienne de :

1. \(1234\) par \(17\).

2. \(-1234\) par \(17\).

3. \(5^{50}\) par \(7\) (indication : étudier les puissances de \(5\) modulo \(7\)).

4. \(123 \cdot 456\) par \(7\).

Le \(1^{\text{er}}\) janvier 2024 est un lundi. Quel jour est le \(1^{\text{er}}\) janvier 2030 ? Indication : compter les jours et faire la division euclidienne par 7. Attention aux années bissextiles.

Calculer en détaillant l’algorithme d’Euclide :

1. \(\mathrm{pgcd}(168, 252)\).

2. \(\mathrm{pgcd}(741, 247)\).

3. \(\mathrm{pgcd}(1989, 1071)\).

4. \(\mathrm{pgcd}(2024, 1224)\).

Pour chaque couple, trouver \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(a u + b v = \mathrm{pgcd}(a, b)\) (algorithme d’Euclide étendu).

1. \(a = 35\), \(b = 24\).

2. \(a = 91\), \(b = 65\).

3. \(a = 123\), \(b = 51\).

Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) :

1. \(7 x + 5 y = 3\).

2. \(15 x - 9 y = 12\).

3. \(36 x + 24 y = 60\).

4. \(5 x + 3 y = 1\), et donner toutes les solutions.

1. Démontrer que \(5n + 3\) et \(3n + 2\) sont premiers entre eux pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2. Démontrer que \((n+1)\) et \((2n+1)\) sont premiers entre eux pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

3. Soient \(a, b \in \mathbb{N}\) avec \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\). Démontrer que \(\mathrm{pgcd}(a, a + b) = 1\).

Soient \(a, b, c \in \mathbb{Z}\).

1. Démontrer que si \(a \mid b c\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(a \mid c\).

2. En déduire : si \(a \mid n\) et \(b \mid n\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(a b \mid n\).

3. Démontrer que si \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\) et \(\mathrm{pgcd}(a, c) = 1\), alors \(\mathrm{pgcd}(a, bc) = 1\).

1. Déterminer le reste de \(2^{2024}\) dans la division par \(5\).

2. Déterminer le reste de \(7^{100}\) dans la division par \(13\).

3. Déterminer le dernier chiffre de \(7^{2024}\) (i.e. modulo \(10\)).

4. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(11 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}\).

Démontrer que :

1. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(8 \mid 3^{2n} - 1\).

2. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(7 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}\).

3. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(9 \mid 4^n + 6n - 1\).

4. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\mathrm{pgcd}(2^{n} + 1,\, 2^{n+1} + 1) \in \{1, 3\}\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) : \(x \equiv 2 \pmod 5\) et \(x \equiv 3 \pmod 7\).

2. Trouver tous les entiers \(x\) tels que \(x \equiv 1 \pmod 4\), \(x \equiv 2 \pmod 9\) et \(x \equiv 3 \pmod{25}\).