Série d’exercices

Calculer :

1. \(A_7^3\), \(A_8^4\), \(A_{10}^2\).

2. \(\binom{6}{2}\), \(\binom{8}{5}\), \(\binom{10}{0}\), \(\binom{10}{10}\).

3. \(\dfrac{12!}{9!}\), \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\).

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) :

1. \(A_n^2 = 30\).

2. \(A_n^3 = 6 A_n^2\).

3. \(\binom{n}{2} = 21\).

4. \(\binom{n}{3} = \binom{n}{4}\).

5. \(A_n^4 = 12 A_n^2\).

Démontrer pour tous \(n, p\) valides :

1. \(\binom{n}{p} = \binom{n}{n - p}\).

2. \(\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}\) (formule de Pascal).

3. \(p \binom{n}{p} = n \binom{n-1}{p-1}\).

4. \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n\).

1. Combien de codes à \(6\) chiffres avec répétition autorisée ?

2. Combien de codes à \(6\) chiffres sans répétition ?

3. Combien de codes à \(6\) chiffres commençant par \(0\) (sans répétition) ?

4. Combien de codes à \(4\) chiffres dont le premier est non nul (sans répétition) ?

Une compétition oppose \(10\) athlètes.

1. Combien de classements complets (ordre des 10) ?

2. Combien de podiums possibles (3 premières places) ?

3. Combien de podiums possibles avec un athlète favori parmi les 3 premiers ?

1. Combien d’anagrammes du mot “CASABLANCA” ?

2. Combien d’anagrammes du mot “MATHEMATIQUES” ?

3. Combien d’anagrammes du mot “LOGIQUE” commençant par une voyelle ?

4. Combien de mots de \(5\) lettres distinctes peut-on former avec les lettres de “ABCDEFG” ?

Une classe compte \(20\) élèves (10 filles, 10 garçons). On veut former un comité de \(5\) élèves.

1. Combien de comités possibles ?

2. Combien de comités contenant exactement \(2\) filles ?

3. Combien contenant au moins \(1\) fille ?

4. Combien contenant au plus \(2\) garçons ?

5. Combien contenant le délégué Ali et la déléguée Zineb ?

Une urne contient \(5\) boules rouges, \(4\) blanches et \(3\) noires.

1. On tire simultanément \(3\) boules. Combien de tirages possibles ?

2. Combien de tirages contenant \(3\) rouges ?

3. Combien de tirages contenant exactement \(1\) blanche ?

4. Combien de tirages contenant exactement \(1\) boule de chaque couleur ?

5. Combien de tirages contenant au moins \(1\) rouge ?

Avec l’urne précédente, on tire \(3\) boules successivement et sans remise.

1. Combien de tirages possibles ?

2. Combien commencent par une rouge ?

3. Combien sont du type « rouge, blanche, noire » dans cet ordre exact ?

Reprenez l’urne précédente : on tire \(3\) boules successivement et avec remise.

1. Combien de tirages possibles ?

2. Combien contiennent les \(3\) couleurs (une à chaque tirage) ?

3. Combien contiennent au moins une noire ?

On considère \(10\) points du plan, dont \(4\) sont alignés et les autres sont en position générale (aucun trio sauf les \(4\) alignés n’est aligné).

1. Combien de droites peut-on former passant par \(2\) de ces points ?

2. Combien de triangles peut-on former (sommets parmi ces \(10\) points) ?

Développer en utilisant la formule du binôme :

1. \((x + 1)^5\).

2. \((2x - 3)^4\).

3. \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6\).

4. \((\sqrt{2} + 1)^4\).

1. Déterminer le coefficient de \(x^3\) dans \((2x + 1)^7\).

2. Déterminer le coefficient de \(x^4\) dans \((x^2 + 3)^6\).

3. Le coefficient de \(x^0\) (terme constant) dans \(\left(x - \dfrac{2}{x}\right)^{10}\).

Démontrer pour tous \(n, p \geq 1\) :
\[p \binom{n}{p} = n \binom{n-1}{p-1}.\]
Interprétation combinatoire : choisir une équipe de \(p\) personnes parmi \(n\), et désigner un capitaine, c’est équivalent à choisir le capitaine d’abord puis l’équipe.

Démontrer pour tous \(m, n, p\) valides :
\[\binom{m + n}{p} = \sum_{k=0}^p \binom{m}{k} \binom{n}{p - k}.\]
Indication : interpréter en termes de comités mixtes.