Série d’exercices

1. Écrire en extension :

   1. \(A = \{\, n \in \mathbb{N} \;|\; n(n-3) \leq 0\,\}\).

   2. \(B = \{\, k \in \mathbb{Z} \;|\; k^2 + k - 6 = 0\,\}\).

   3. \(C = \{\, x \in \mathbb{R} \;|\; (x-1)(x^2 - 4) = 0\,\}\).

   4. \(D = \{\, n \in \mathbb{N} \;|\; n\, \text{ divise }\, 18\,\}\).

2. Écrire en compréhension (en partant de \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Z}\) ou \(\mathbb{N}\) selon le cas) :

   1. \(E_1 = \{0\,;\,3\,;\,8\,;\,15\,;\,24\,;\,35\,;\,\ldots\}\).

   2. \(E_2 = \{-5\,;\,-3\,;\,-1\,;\,1\,;\,3\,;\,5\}\).

   3. \(E_3 = \{1\,;\,\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{1}{4}\,;\,\ldots\}\).

Soient \(A = \{\, x \in \mathbb{R} \;|\; x^2 - 3x + 2 \geq 0\,\}\) et \(B = \,]-\infty,\, 1] \cup [2,\, +\infty[\,\).

1. Montrer que \(A = B\) par double inclusion.

2. Soit \(C = \{\, n \in \mathbb{N} \;|\; n^2 + 2n \geq 8\,\}\). Écrire \(C\) en extension (justifier).

3. Soient \(X = \{\, 6k \;|\; k \in \mathbb{Z}\,\}\) et \(Y = \{\, 2k \;|\; k \in \mathbb{Z}\,\} \cap \{\, 3k \;|\; k \in \mathbb{Z}\,\}\). Démontrer \(X = Y\).

1. Soit \(E = \{a,\,b,\,c\}\). Donner explicitement \(\mathcal{P}(E)\). Vérifier que \(|\mathcal{P}(E)| = 2^3\).

2. Soit \(F\) un ensemble tel que \(|\mathcal{P}(F)| = 32\). Combien d’éléments compte \(F\) ?

3. Vrai ou faux ? (justifier) :

   1. \(\emptyset \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))\).

   2. \(\{\emptyset\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))\).

   3. Si \(A \subset B\) alors \(\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\).

   4. \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).

4. Soient \(A, B \subset E\). Démontrer que \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).

Dans l’univers \(E = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8\}\), on pose
\[A = \{1,\,2,\,4,\,5,\,7\} \quad ; \quad B = \{2,\,3,\,5,\,8\} \quad ; \quad C = \{4,\,5,\,6,\,7\}.\]

1. Calculer \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(A \bigtriangleup B\).

2. Calculer \(A \cap (B \cup C)\) et \((A \cap B) \cup (A \cap C)\) ; vérifier l’égalité.

3. Calculer \(\overline{A \cup B}\) et \(\overline{A} \cap \overline{B}\) ; vérifier la loi de De Morgan.

4. Calculer \((A \bigtriangleup B) \bigtriangleup C\) et \(A \bigtriangleup (B \bigtriangleup C)\) ; conjecturer une propriété et la nommer.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\). Démontrer par double inclusion (ou en utilisant les caractérisations logiques) :

1. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

2. \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) (seconde loi de De Morgan).

3. \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\).

4. \(A \bigtriangleup B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) des parties d’un ensemble \(E\).

1. Montrer que \(A \subset B \;\Leftrightarrow\; \overline{B} \subset \overline{A}\).

2. Montrer que \(A \subset B \;\Leftrightarrow\; A \cap \overline{B} = \emptyset\).

3. En déduire que \(A \subset B \;\Leftrightarrow\; A \setminus B = \emptyset\).

4. Démontrer : si \(A \subset C\) et \(B \subset C\), alors \(A \cup B \subset C\).

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). On suppose :
\[A \cup B = E \quad \text{et} \quad A \cap B = \emptyset.\]

1. Démontrer que \(B = \overline{A}\).

2. Réciproquement, montrer que \(A\) et \(\overline{A}\) vérifient toujours ces deux égalités.

3. Conclure : caractériser la situation décrite.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) des parties d’un ensemble \(E\). Démontrer :

1. \(A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A\) (commutativité).

2. \(A \bigtriangleup \emptyset = A\) et \(A \bigtriangleup A = \emptyset\).

3. \(A \bigtriangleup B = \overline{A} \bigtriangleup \overline{B}\).

4. Si \(A \bigtriangleup B = A \bigtriangleup C\), alors \(B = C\) (simplification).

5. \(A \cap (B \bigtriangleup C) = (A \cap B) \bigtriangleup (A \cap C)\).

1. Soient \(E = \{1,\,2\}\) et \(F = \{x,\,y,\,z\}\). Donner explicitement \(E \times F\), \(F \times E\), \(E^2\), \(F^2\). Quels sont les cardinaux ?

2. Représenter dans le plan le produit \([-1,\,2] \times [0,\,3]\) et le produit \(\{-1,\,0,\,1\} \times [0,\,1]\).

3. Soient \(A_1, A_2 \subset E\) et \(B \subset F\). Démontrer :
   \[(A_1 \cup A_2) \times B = (A_1 \times B) \cup (A_2 \times B).\]

4. Démontrer : \((A_1 \cap A_2) \times B = (A_1 \times B) \cap (A_2 \times B)\).

5. Soient \(E\), \(F\) non vides. Montrer que \(E \times F = F \times E \;\Leftrightarrow\; E = F\).

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto x^2 - 4x + 3\).

1. Vérifier que \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\).

2. Calculer \(f^{-1}(\{0\})\) et \(f^{-1}(\{-1\})\).

3. Déterminer \(f^{-1}([0,\,+\infty[\,)\).

4. Déterminer \(f([0,\,4])\). (Indication : compléter le carré.)

5. Calculer \(f([1,\,3])\) et \(f^{-1}([-1,\,0])\).

Soit \(f : E \to F\) une application, \(A, A' \subset E\), \(B, B' \subset F\). Démontrer :

1. \(f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')\).

2. \(f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')\). Donner un contre-exemple explicite à l’égalité.

3. \(f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')\).

4. \(f^{-1}(\overline{B}) = \overline{f^{-1}(B)}\) (complémentaires dans \(F\) et \(E\) respectivement).

5. \(A \subset f^{-1}(f(A))\). Donner un exemple où l’inclusion est stricte.

6. \(f(f^{-1}(B)) \subset B\). Donner un exemple où l’inclusion est stricte.

Étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de chacune des applications suivantes. Pour les bijections, expliciter la réciproque.

1. \(f_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto 4x - 7\).

2. \(f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto x^2 + 1\).

3. \(f_3 : \mathbb{R}_+ \to [1,\,+\infty[, \; x \mapsto x^2 + 1\).

4. \(f_4 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto x^3 + x\).

5. \(f_5 : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}, \; x \mapsto \dfrac{2x + 1}{x - 1}\).

6. \(f_6 : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \; n \mapsto \begin{cases} n + 1 & \text{si } n \text{ pair} \\ n - 1 & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}\).

Soit \(f : E \to F\) une application.

1. Montrer que \(f\) est injective \(\;\Leftrightarrow\;\; (\forall A \subset E)\; f^{-1}(f(A)) = A\).

2. Montrer que \(f\) est surjective \(\;\Leftrightarrow\;\; (\forall B \subset F)\; f(f^{-1}(B)) = B\).

3. Montrer que \(f\) est injective \(\;\Leftrightarrow\;\; (\forall A_1, A_2 \subset E)\; f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)\).

Soient
\[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto 2x + 3 \quad ; \quad g : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto x^2 - 1 \quad ; \quad h : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}.\]

1. Calculer \(g \circ f\), \(f \circ g\), \(h \circ f\), \(f \circ h\).

2. Vérifier que \(g \circ f \neq f \circ g\) (donner un point qui les distingue).

3. Calculer \((h \circ g) \circ f\) et \(h \circ (g \circ f)\). Comparer.

4. Trouver \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que \(f \circ \varphi = g\) (si possible).

Décomposer chacune des applications suivantes comme composée de deux ou trois applications élémentaires (préciser les ensembles de départ et d’arrivée à chaque étape) :

1. \(\varphi_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto (5x - 2)^3\).

2. \(\varphi_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 4}\).

3. \(\varphi_3 : \,]2,\,+\infty[ \to \mathbb{R},\; x \mapsto \sqrt{x - 2}\).

4. \(\varphi_4 : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \cos(3x + \pi)\).

5. \(\varphi_5 : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}\).

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

1. Démontrer : si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.

2. Démontrer : si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.

3. En déduire que si \(g \circ f\) est bijective et \(f\) est surjective, alors \(f\) est bijective.

4. Soit \(f : E \to E\) telle que \(f \circ f = \mathrm{id}_E\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).

5. Soient \(f, g, h\) tels que \(g \circ f = h \circ f\) avec \(f\) surjective. Montrer que \(g = h\).