Série d’exercices

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

1. \(p : \sqrt{16}+\sqrt{9}=7\).

2. \(q : (2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}\).

3. \(r : \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\).

4. \(s : \cos^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=1\).

Soient \(p, q\) deux propositions. Préciser la valeur de vérité des propositions suivantes.

1. \(p : 12\) est un multiple de \(4\) et un multiple de \(6\).

2. \(q : \sqrt{2}\in\mathbb{Q}\) ou \(\pi^{2}<10\).

3. \(r : 0\in\mathbb{N}\Rightarrow 0\in\mathbb{Z}\).

4. \(s : (5+5=11)\Leftrightarrow (3<2)\).

Pour chacune des propositions suivantes :

1. donner sa valeur de vérité ;

2. écrire sa négation.

• \((\forall x\in\mathbb{R}),\ x^{2}+1>0\).

• \((\exists x\in\mathbb{R}),\ x^{2}=2\).

• \((\forall n\in\mathbb{N})(\exists m\in\mathbb{N}),\ m>n\).

• \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R}),\ x+y=0\).

Écrire chacune des phrases suivantes à l’aide des quantificateurs.

1. Tout entier naturel non nul a un carré strictement positif.

2. Il existe un réel positif dont le cube vaut \(8\).

3. Pour tout réel \(x\), il existe un réel \(y\) tel que \(x+y=1\).

4. Aucun entier naturel n’est strictement négatif.

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Montrer par déduction que :
\[a+b\leq 2 \;\Longrightarrow\; ab\leq 1.\]
(On pourra utiliser l’inégalité \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0\).)

1. Montrer par contraposée que :
   \[\forall n\in\mathbb{N},\ n^{2}\text{ est divisible par } 3 \;\Longrightarrow\; n\text{ est divisible par } 3.\]

2. En déduire que \(\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\).

Soit \(x\in\mathbb{R}\). Montrer par disjonction des cas que :
\[|x|+|x-1|\geq 1.\]
Préciser le ou les cas pour lesquels l’égalité a lieu.

Montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} \;\Longleftrightarrow\; ab=0.\]

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.
Montrer par l’absurde que si \(a+b+c>0\), alors au moins l’un des trois nombres \(a\), \(b\), \(c\) est strictement positif.

Montrer par récurrence que :

1. \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

2. \(\forall n\in\mathbb{N},\ 4^{n}-1\) est divisible par \(3\).

Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs.

1. Montrer que \(\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}\).

2. En déduire que si \(xy=1\), alors \(x+y\geq 2\).

3. Soit \((x,y)\in (\mathbb{R}^{+})^{2}\). Montrer par contraposée que :
   \[x+y<2 \;\Longrightarrow\; xy<1.\]

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou par un contre-exemple.

1. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\ x^{2}=y^{2}\Rightarrow x=y\).

2. \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^{2}\geq x\).

3. \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \dfrac{1}{n}\leq\dfrac{1}{n+1}\).

4. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|x|+|y|\).