Série d’exercices

Écrire les propositions suivantes à l’aide des quantificateurs \(\forall\) et \(\exists\), puis donner leur valeur de vérité.

1. \(P\) : Pour tout entier naturel \(n\), il existe un entier naturel \(m\) tel que \(n + m = 10\).

2. \(Q\) : Il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(x \leq M\).

3. \(R\) : Il existe un nombre rationnel dont le carré vaut \(2\).

4. \(S\) : Aucun nombre rationnel n’est solution de l’équation \(x^2 = 2\).

5. \(T\) : Entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel.

Déterminer la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

1. \(P_1 : (\forall x \in \mathbb{R})\;\; x^2 - x - 2 \geq 0\).

2. \(P_2 : (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\;\; y < -2x\).

3. \(P_3 : (\exists x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\;\; y < -2x\).

4. \(P_4 : (\forall x \in \mathbb{R}^*_+)(\forall y \in \mathbb{R}^*_+)\;\; x + y \geq 1\).

5. \(P_5 : (\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R})\;\; y \neq \sin(x)\).

Donner la négation de chacune des phrases suivantes.

1. \(P\) : Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges.

2. \(Q\) : Certains entiers naturels sont pairs.

3. \(R\) : Tout entier naturel divisible par \(9\) est divisible par \(3\).

4. \(S\) : Il existe un élève de la classe qui parle au moins trois langues.

Déterminer la négation des propositions suivantes.

1. \(P : (\forall x \in \mathbb{R})\; (x \geq 0 \text{ ou } x \leq 0)\).

2. \(Q : (\exists x \in \mathbb{R})\; (x^2 \leq 5 \text{ et } x \in \mathbb{Z})\).

3. \(R : (\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R})\;\; x \leq y - 1 \Rightarrow (x + y)^2 \leq xy\).

4. \(S\) : Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\). \(a > b \Rightarrow a \leq c\).

Soient \(P, Q, R\) des propositions quelconques. Montrer, en dressant la table de vérité, que chacune des propositions suivantes est une loi logique.

1. \(\overline{P \wedge Q} \;\Leftrightarrow\; \overline{P} \vee \overline{Q}\) (loi de De Morgan).

2. \((P \Rightarrow Q) \;\Leftrightarrow\; (\overline{P} \vee Q)\) (forme disjonctive).

3. \(\bigl[P \wedge (P \Rightarrow Q)\bigr] \Rightarrow Q\) (modus ponens).

4. \(\bigl[(P \Rightarrow Q) \wedge \overline{Q}\bigr] \Rightarrow \overline{P}\) (modus tollens).

5. \(\bigl[P \Rightarrow (Q \vee R)\bigr] \;\Leftrightarrow\; \bigl[(P \wedge \overline{Q}) \Rightarrow R\bigr]\).

Étudier la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes. Pour celles qui sont fausses, donner un contre-exemple explicite.

1. Tous les nombres premiers sont impairs.

2. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; n^2 - n + 11\) est un nombre premier.

3. \((\forall x \in \mathbb{R})\;\; \sqrt{x^2} = x\).

4. \((\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2)\;\; (x + y)^2 = x^2 + y^2\).

5. \((\forall n \in \mathbb{N}^*)\;\; 2^n - 1\) est un nombre premier.

1. Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R})\;\; |x - 3| \leq 1 \Rightarrow |2x + 1| \leq 9\).

2. Soit \(a > 0\). Montrer que \(a + \dfrac{4}{a} \geq 4\).

3. Montrer que : \((\forall (x,y) \in \mathbb{R}_+^2)\;\; \sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\).

4. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(n^2 + n + 1\) est impair.

Démontrer par contraposée chacune des implications suivantes.

1. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; n^2\) impair \(\Rightarrow n\) impair.

2. \((\forall n \in \mathbb{Z})\;\; n^2 + 1\) pair \(\Rightarrow n\) impair.

3. Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a \neq -b\). \(\dfrac{a-b}{a+b} \neq -3 \Rightarrow b \neq -2a\).

4. \((\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2)\;\; xy \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \;\text{et}\; y \neq 0\).

5. Soit \(n \in \mathbb{N}\). \(n^3 + 2\) pair \(\Rightarrow n\) pair.

Résoudre dans l’ensemble indiqué en justifiant chaque équivalence.

1. Dans \(\mathbb{R}\) : \(|2x - 3| \leq 5\).

2. Dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{x^2 - 1} = x + 1\).

3. Dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{x - 2}{x + 1} \leq 3\).

4. Dans \(\mathbb{R}\) : \(x^2 + |x| - 2 = 0\).

Indication. Pour les questions avec radicaux ou valeurs absolues, vérifier la réversibilité de chaque étape (signe des deux membres, domaine de définition).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(-x^2 + |x - 4| + 2 = 0\).

2. Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; n(n+1)(n+2)\) est divisible par \(3\).

3. Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R})\;\; x^2 - x + 1 \geq |x - 1|\).

4. Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Montrer que \(n(n^2 - 1)\) est divisible par \(6\).

1. Montrer que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).

2. Soient \(a, b \in \mathbb{R}^*_+\) tels que \(ab = 1\). Montrer que \(a \leq 1\) ou \(b \leq 1\).

3. Soient \(a, b \in \mathbb{Q}\) tels que \(a + b\sqrt{2} = 0\). Montrer que \(a = 0\) et \(b = 0\).

4. Soit \(ABC\) un triangle et \(a > 0\) tels que \(BC = 3a\), \(CA = 2a\), \(AB = 4a\). Montrer que \(ABC\) n’est pas rectangle.

5. Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N},\; n \geq 2)\;\; \dfrac{n+3}{n+1} \notin \mathbb{Z}\).

Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) :

1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\).

2. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

3. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).

4. \(\displaystyle \sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2\).

5. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1\).

6. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\).

Montrer par récurrence que :

1. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 3^{2n} - 1\) est divisible par \(8\).

2. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 4^n + 5\) est divisible par \(3\).

3. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 7^n - 1\) est divisible par \(6\).

4. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; n(n^2 + 5)\) est divisible par \(6\).

5. \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par \(7\).

1. Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 2^n \geq n + 1\).

2. Soit \(a > -1\). Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; (1 + a)^n \geq 1 + na\) (inégalité de Bernoulli).

3. Montrer que : \((\forall n \geq 4)\;\; n! \geq 2^n\).

4. Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}^*)\;\; 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}\).

5. Soit \(q \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; \displaystyle\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).

Partie A – Quantificateurs et négation.

1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction. Traduire en langage symbolique avec quantificateurs :

   1. \(f\) est paire.

   2. \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

   3. \(f\) est majorée sur \(\mathbb{R}\).

2. Donner la négation de chacune des propositions précédentes.

Partie B – Raisonnement.

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). En remarquant que \(n(n+1)\) est pair (voir Exercice 10, question 2), montrer directement que \(n^2 + n + 1\) est impair.

2. Montrer par l’absurde que \(\sqrt{6} \notin \mathbb{Q}\).

3. Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).

   1. Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N})\;\; 1 \leq u_n < 2\).

   2. En déduire que la suite est strictement croissante (i.e. \(u_{n+1} > u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)).