Sciences Mathématiques
Programme officiel du Ministère de l’Éducation Nationale — Sections Internationales du Baccalauréat Marocain, Option Française. Volume horaire total : 168 heures.
3 chapitres
CH 01Le barycentre dans le plan
- Utiliser le barycentre pour simplifier une expression vectorielle
- Utiliser le barycentre pour établir l'alignement de trois points d'un plan
- Utiliser le barycentre pour établir l'intersection de droites
- Construire le barycentre de n points (2 ≤ n ≤ 4)
- Utiliser le barycentre pour résoudre des problèmes et déterminer des lieux géométriques
- Barycentre de n points (2 ≤ n ≤ 4) ; centre de gravité
- Propriété caractéristique du barycentre ; invariance ; associativité
- Coordonnées du barycentre dans un repère donné
Avant de définir le barycentre, sensibiliser les élèves sur la relation entre cette notion et d'autres disciplines de la même spécialité. Mettre en évidence le rôle du barycentre et du produit scalaire pour résoudre des problèmes géométriques et déterminer certains lieux géométriques.
CH 02Analytique du produit scalaire et applications
- Exprimer le parallélisme et l'orthogonalité de deux droites
- Utiliser le produit scalaire pour calculer distances, aires et mesures d'angles
- Reconnaitre l'ensemble des points M vérifiant MA·MB = 0
- Déterminer le centre et le rayon d'un cercle défini par une équation cartésienne
- Passer d'une équation cartésienne à une représentation paramétrique d'un cercle
- Utiliser le produit scalaire pour résoudre des problèmes géométriques et algébriques
- Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé, de la norme, de la distance
- Expressions de cos θ et sin θ, inégalité de Cauchy-Schwartz, inégalité triangulaire
- La droite dans le plan (vecteur normal, équation cartésienne par point et normal, distance d'un point à une droite)
- Le cercle : équation cartésienne, représentation paramétrique, étude de x² + y² + ax + by + c = 0
- Position relative cercle/droite, équation de la tangente
L'étude analytique du cercle est un domaine riche pour l'application de l'aspect analytique du produit scalaire. Utiliser le produit scalaire pour déterminer une équation cartésienne d'un cercle. Aborder, à travers des activités, un cercle défini par trois points non alignés.
CH 03La rotation dans le plan
- Utiliser une rotation donnée dans une situation géométrique
- Construire les images de figures usuelles par une rotation donnée
- Reconnaitre une rotation et l'utiliser pour résoudre des problèmes géométriques
- Reconnaitre des figures isométriques en utilisant une rotation
- Définition d'une rotation ; rotation réciproque ; décomposition en composée de deux symétries axiales
- Propriétés : conservation de la distance, des angles orientés, du barycentre, de l'équipollence, du parallélisme et de l'orthogonalité
- Image par rotation d'une droite, d'un segment, d'un cercle, d'un angle et de l'intersection de deux figures
- Composée de deux rotations
Définir une rotation à partir de son centre et de son angle. L'introduction des coordonnées et de l'expression analytique d'une rotation est hors programme.
5 chapitres
CH 01Vecteurs de l'espace
- Maitriser les règles du calcul vectoriel dans l'espace
- Reconnaitre et exprimer la colinéarité de deux vecteurs
- Reconnaitre et exprimer la coplanarité de trois vecteurs
- Appliquer l'alignement et la coplanarité pour résoudre des problèmes géométriques
- Calcul vectoriel dans l'espace
- Vecteurs colinéaires ; définition vectorielle d'une droite
- Définition vectorielle d'un plan
- Vecteurs coplanaires
Présenter la notion de vecteur et le calcul vectoriel de la même manière que celle utilisée dans le plan. Se limiter à l'interprétation géométrique de l'alignement et de la coplanarité.
CH 02Géométrie analytique dans l'espace
- Exprimer les notions et propriétés de la géométrie affine et vectorielle à l'aide des coordonnées
- Choisir la représentation convenable (cartésienne ou paramétrique) pour étudier les positions relatives
- Interpréter les résultats des positions relatives de droites et de plans
- Coordonnées d'un point, d'un vecteur, de u + v, λu, AB
- Déterminant de trois vecteurs
- Représentation paramétrique d'une droite ; positions relatives de deux droites
- Représentation paramétrique d'un plan ; équation cartésienne ; positions relatives de deux plans
- Deux équations cartésiennes d'une droite
- Positions relatives d'une droite et d'un plan
Définir le repère et la base à partir de quatre points non coplanaires. Utiliser la projection sur un plan parallèlement à une droite pour présenter les coordonnées. Accorder une importance particulière à l'outil analytique pour étudier les positions relatives.
CH 03Produit scalaire dans V₃
- Utiliser le produit scalaire pour exprimer et montrer l'orthogonalité de deux vecteurs
- Exprimer vectoriellement et analytiquement l'orthogonalité de deux vecteurs
- Définition ; propriétés (symétrie, bilinéarité)
- Orthogonalité de deux vecteurs
- Repère orthonormé, base orthonormée
- Expression analytique du produit scalaire, de la norme et de la distance
Présenter le produit scalaire de la même manière que dans le plan. L'objectif est l'exploitation du produit scalaire pour les propriétés métriques et l'orthogonalité.
CH 04Produit scalaire dans l'espace : applications
- Déterminer un plan défini par un point et un vecteur normal
- Déterminer la droite passant par un point et orthogonale à un plan
- Déterminer une équation cartésienne et paramétrique d'une sphère
- Reconnaitre l'ensemble des points M tels que MA·MB = 0
- Vecteur normal à un plan ; équation cartésienne d'un plan
- Distance d'un point à un plan
- Étude analytique de la sphère ; étude de x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0
- Intersection sphère/plan, plan tangent, intersection sphère/droite
Pour la position relative sphère-plan ou sphère-droite, se limiter aux cas numériques sans traiter le cas général. Appliquer le produit scalaire dans l'étude du parallélisme et de l'orthogonalité dans l'espace.
CH 05Produit vectoriel
- Calculer l'aire d'un triangle en utilisant le produit vectoriel
- Déterminer une équation d'un plan défini par trois points non alignés
- Appliquer le produit vectoriel dans la résolution de problèmes géométriques et physiques
- Orientation de l'espace ; trièdre ; repère et base orientés
- Définition géométrique du produit vectoriel et interprétation de sa norme
- Propriétés : antisymétrie ; bilinéarité
- Coordonnées du produit vectoriel dans une base orthonormée directe
- Distance d'un point à une droite
Définir le produit vectoriel après avoir orienté l'espace à l'aide du bonhomme d'Ampère. Interpréter le produit vectoriel géométriquement. Toutes les propriétés du produit vectoriel sont admises.
5 chapitres
CH 01Notions de logique
- Transformer un énoncé mathématique en écriture symbolique en utilisant connecteurs et quantificateurs
- Utiliser le type de raisonnement convenable selon la situation étudiée
- Rédiger des raisonnements et démonstrations mathématiques claires et logiquement correctes
- Propositions ; opérations sur les propositions ; fonctions propositionnelles
- Les quantificateurs ; propositions quantifiées ; lois logiques
- Raisonnements mathématiques : par l'absurde, par contraposée, par disjonction des cas, par équivalence, par récurrence
Approcher les propositions, lois logiques et méthodes de raisonnement à partir d'activités variées. Éviter toute construction théorique et utilisation excessive de tableaux de vérité.
CH 02Les ensembles
- Déterminer un ensemble par compréhension ou par extension
- Maitriser la relation entre les règles de la logique et les opérations sur les ensembles
- Définition d'un ensemble par compréhension et par extension ; partie d'un ensemble
- Ensemble des parties P(E)
- Inclusion ; égalité ; complémentaire
- Intersection, réunion, différence ; lois de Morgan
- Produit cartésien
Chapitre d'importance capitale : occasion d'investir la logique et préparation aux structures algébriques. Introduire l'ensemble ℝ² et insister sur le lien entre opérations ensemblistes et connecteurs logiques.
CH 03Les applications
- Reconnaitre une application, son ensemble de définition, son image
- Reconnaitre injection, surjection, bijection
- Déterminer l'application réciproque
- Étudier la composition de deux applications
- Application : ensemble de départ et d'arrivée
- Image directe et image réciproque
- Injection, surjection, bijection
- Application réciproque
- Composition d'applications
Présenter les notions à partir de fonctions numériques étudiées au tronc commun. Insister sur le lien entre injection/surjection/bijection et résolution d'équations.
CH 04Arithmétique dans ℕ
- Maitriser la division euclidienne dans ℕ
- Reconnaitre et utiliser les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers
- Calculer PGCD et PPCM par l'algorithme d'Euclide
- Utiliser les propriétés de la divisibilité pour résoudre des problèmes
- Divisibilité dans ℕ ; division euclidienne
- Nombres premiers ; décomposition en produit de facteurs premiers
- PGCD et PPCM ; algorithme d'Euclide
- Propriétés de la divisibilité
Aborder l'arithmétique dans ℕ uniquement. L'arithmétique dans ℤ (Bézout, Gauss, congruences) est réservée à la 2ème année du baccalauréat Sciences Mathématiques.
CH 05Dénombrement
- Reconnaitre arrangements, permutations, combinaisons
- Calculer le cardinal d'un ensemble fini dans des situations de comptage
- Utiliser la formule du binôme de Newton
- Cardinal d'un ensemble fini ; principe additif et multiplicatif
- Arrangements (avec et sans répétition) ; permutations
- Combinaisons ; binôme de Newton ; triangle de Pascal
Introduire les notions à partir de situations concrètes (urnes, choix d'équipes, mots). Insister sur la distinction entre arrangement et combinaison selon l'ordre considéré.
5 chapitres
CH 01Généralités sur les fonctions numériques (rappel et compléments)
- Déterminer le domaine de définition d'une fonction
- Étudier la parité, la périodicité, les variations
- Reconnaitre et exploiter les éléments de symétrie de la courbe
- Étudier la composée de deux fonctions
- Rappels : domaine, image, comparaison, opérations sur les fonctions
- Parité, périodicité ; éléments de symétrie de la courbe
- Sens de variation ; extrema ; composée de deux fonctions
- Fonction réciproque d'une fonction bijective
Renforcer et consolider les acquis du tronc commun. Exploiter les symétries pour réduire le domaine d'étude. Introduire la composition à partir d'exemples concrets.
CH 02Généralités sur les suites numériques
- Reconnaitre les suites arithmétiques et géométriques
- Étudier le sens de variation d'une suite
- Utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété
- Notion de suite numérique ; modes de définition
- Suites arithmétiques, géométriques : terme général et somme
- Sens de variation, suites majorées, minorées, bornées
- Raisonnement par récurrence
L'étude formelle de la convergence est réservée à la 2ème année du baccalauréat. Insister sur la rédaction rigoureuse du raisonnement par récurrence.
CH 03Trigonométrie
- Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques
- Appliquer les formules d'addition, de duplication, de linéarisation
- Résoudre des équations trigonométriques de base
- Cercle trigonométrique ; mesure des angles en radians
- Fonctions cosinus, sinus, tangente ; valeurs remarquables
- Formules d'addition, de duplication, de linéarisation
- Équations trigonométriques de base
Exploiter le cercle trigonométrique pour visualiser les angles associés et les formules de base. Multiplier les exercices d'application des formules d'addition et de duplication.
CH 04Limite d'une fonction numérique
- Calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini
- Utiliser les théorèmes sur les limites (somme, produit, quotient, composée)
- Étudier les formes indéterminées simples
- Interpréter graphiquement les limites (asymptotes)
- Notion intuitive de limite ; définition
- Limite à droite, à gauche ; limites infinies
- Opérations sur les limites ; limite de la composée
- Asymptotes horizontales, verticales, obliques
Introduire la notion intuitivement avant la définition rigoureuse. Présenter les formes indéterminées comme situations nécessitant des techniques particulières.
CH 05Dérivation
- Calculer la dérivée d'une fonction
- Étudier le sens de variation à l'aide du signe de la dérivée
- Déterminer l'équation de la tangente en un point
- Étudier et représenter graphiquement des fonctions
- Nombre dérivé ; fonction dérivée
- Dérivées des fonctions usuelles
- Opérations sur les dérivées ; dérivée d'une composée
- Application à l'étude des variations, extrema, tangentes
- Étude et représentation graphique de fonctions polynômes, rationnelles, irrationnelles, trigonométriques simples
Étudier des fonctions dont le calcul de la dérivée et l'étude de son signe ne posent pas de difficultés excessives. Traiter la résolution graphique d'équations et d'inéquations.