Sciences Mathématiques
Programme officiel du Ministère de l’Éducation Nationale — 2ème année du baccalauréat Sciences Mathématiques, option française.
4 chapitres
CH 01Suites numériques
- Étudier la convergence et la divergence d'une suite
- Utiliser les critères de convergence et l'encadrement
- Étudier les suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n)
- Déterminer la limite de la composée v_n=f(u_n)
- Utiliser les suites adjacentes pour encadrer des réels
- Limite finie et limite infinie d'une suite
- Suites usuelles : (a^n), (n^r), n>=0
- Opérations sur les limites ; limites et ordre
- Suites adjacentes ; convergence monotone
- Suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) ; limite de v_n=f(u_n)
On s'appuie sur les suites usuelles et les critères de convergence plutôt que sur la définition formelle. L'utilisation de la définition de la limite n'est pas un objectif du programme.
CH 02Limites et continuité
- Étudier la continuité en un point et sur un intervalle
- Déterminer l'image d'un segment ou d'un intervalle par une fonction continue
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
- Utiliser la dichotomie pour approcher les solutions de f(x)=λ
- Appliquer le théorème des fonctions réciproques
- Continuité en un point, à droite, à gauche ; prolongement par continuité
- Opérations et composée de fonctions continues
- Image d'un intervalle et d'un segment par une fonction continue
- Théorème des valeurs intermédiaires ; cas strictement monotone
- Fonctions réciproques usuelles : x→ⁿ√x, x→Arctan(x) ; puissances rationnelles x^r
On admet que l'image d'un segment (ou d'un intervalle) par une fonction continue est un segment (ou un intervalle). Les fonctions Arcsin et Arccos sont hors programme.
CH 03Dérivation et étude de fonctions
- Maîtriser le calcul des dérivées et des primitives
- Étudier et représenter fonctions logarithmes et exponentielles
- Résoudre équations, inéquations et systèmes log/exp
- Appliquer les théorèmes de Rolle et des accroissements finis
- Résoudre y'=ay+b et y''+ay'+by=0
- Dérivabilité, composée et fonction réciproque ; dérivées de ⁿ√x et Arctan
- Fonctions primitives d'une fonction continue sur un intervalle
- Fonction logarithme népérien ln, logarithme de base a, log décimal
- Fonction exponentielle népérienne exp, exponentielle de base a
- Théorème de Rolle, théorème et inégalité des accroissements finis ; équations différentielles
Les limites logarithmiques et exponentielles fondamentales (ln x / x^n, e^x / x^n, x^n e^{-x}, x^n ln x) sont à mémoriser. On insiste sur l'interprétation graphique des théorèmes et sur leurs applications aux suites u_{n+1}=f(u_n).
CH 04Calcul intégral
- Maîtriser les techniques de calcul intégral (primitives, IPP, changement de variable)
- Calculer aires et volumes de révolution
- Étudier les fonctions définies par x→∫_a^{v(x)} f(t)dt
- Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles
- Déterminer la limite d'une somme de Riemann
- Intégrale d'une fonction continue sur [a;b] ; interprétation géométrique
- Fonction primitive x→∫_a^x f(t)dt ; bilinéarité, relation de Chasles
- Intégrale et ordre ; valeur absolue ; valeur moyenne et théorème de la moyenne
- Techniques : primitives, intégration par parties, changement de variable
- Applications : calcul d'aires et de volumes
On présente l'intégrale via la notion de primitive d'une fonction continue. Les fonctions du type x→∫_a^x f(x;t)dt sont hors programme.
4 chapitres
CH 05Arithmétique
- Écrire un entier dans un système de numération de base b
- Utiliser la congruence modulo n dans des situations arithmétiques
- Appliquer les théorèmes de Gauss, Bézout et Fermat
- Utiliser l'algorithme d'Euclide (PGCD, coefficients de Bézout)
- Résoudre dans Z² l'équation ax+by=c
- Systèmes de numération de base b (b≥2)
- Nombres premiers entre eux ; théorèmes de Gauss et de Bézout
- Congruence modulo n ; ensembles Z/nZ et opérations
- Théorème fondamental de l'arithmétique ; Z/pZ avec p premier
- Petit théorème de Fermat
Synthèse des acquis du tronc commun et de la 1ère année. On insiste sur la rigueur des démonstrations et on traite des équations diophantiennes ainsi que des exemples d'initiation au cryptage.
CH 06Nombres complexes
- Maîtriser le calcul algébrique et trigonométrique sur les complexes
- Interpréter géométriquement module, argument et quotients (z-a)/(z-b)
- Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes
- Résoudre z^n=1 et interpréter géométriquement ses solutions
- Utiliser les écritures complexes des transformations usuelles
- Ensemble C : écriture algébrique, conjugué, opérations, plan complexe
- Module, argument, forme trigonométrique ; coordonnées polaires
- Notation exponentielle, formules d'Euler et de Moivre ; linéarisation
- Racines n-ièmes de l'unité U_n et d'un complexe non nul
- Écritures complexes des transformations : translation, symétrie, homothétie, rotation
Le chapitre est l'occasion de la synthèse sur les transformations usuelles du plan : on traite les composées rotation∘rotation, rotation∘translation et homothétie∘translation à partir d'exemples.
CH 07Calcul de probabilités
- Calculer P(A∪B), P(A∩B) et P(Ā)
- Utiliser la probabilité conditionnelle pour calculer P(A∩B)
- Mobiliser les modèles de dénombrement adaptés à la situation
- Reconnaître indépendance et incompatibilité de deux événements
- Déterminer une loi de probabilité ; reconnaître et appliquer la loi binomiale
- Expériences aléatoires ; espace probabilisé fini ; équiprobabilité
- Probabilité conditionnelle ; indépendance d'événements et d'expériences
- Variable aléatoire ; loi de probabilité ; loi binomiale
- Espérance mathématique, variance, écart type
- Fonction de répartition
On évite toute présentation théorique : on part de la stabilité de la fréquence sur des situations concrètes. Le calcul de probabilités est l'occasion de rappeler les résultats fondamentaux du dénombrement.
CH 08Les structures algébriques
- Maîtriser les opérations sur les structures usuelles
- Comparer deux structures par homomorphisme et isomorphisme
- Étudier groupes, sous-groupes et groupes quotients
- Travailler dans les anneaux et corps usuels
- Étudier espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
- Loi de composition interne ; partie stable ; loi extraite
- Propriétés : associativité, commutativité, élément neutre, symétrique
- Homomorphisme et isomorphisme entre structures
- Groupes, anneaux, corps (et exemples : Z/nZ, M_2(R), M_3(R))
- Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
On illustre par des exemples usuels : fonctions sur un intervalle, polynômes de degré ≤ n, matrices carrées M_2(R) et M_3(R), Z/nZ, ensembles de transformations munis de la composition. On insiste sur les sous-groupes et les sous-espaces vectoriels.