Série d’exercices

On considère le cube \(ABCDEFGH\) représenté ci dessous.

1. Donner deux plans contenant la droite \((AB)\).

2. Préciser la position relative de \((AB)\) et \((DC)\), de \((AB)\) et \((BF)\),
   puis de \((AB)\) et \((CG)\).

3. Déterminer \((ABCD)\cap(BCGF)\) et \((ABFE)\cap(EFGH)\).

4. Montrer que les points \(A\), \(B\), \(G\) et \(H\) sont coplanaires.

5. Le plan \((ACG)\) coupe les plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\). Déterminer
   les deux droites d’intersection puis les comparer.

Dans le cube précédent, \(M\) est le milieu de \([AB]\) et \(N\) le milieu de \([BF]\).

1. Construire les points \(M\) et \(N\) sur la figure.

2. Montrer que \((MN)\parallel(AF)\) puis que \((MN)\parallel(DG)\).

3. Préciser la position relative de \((MN)\) et \((EF)\).

4. Montrer que \((MN)\) et \((FG)\) sont non coplanaires.

5. Donner un plan contenant la droite \((MN)\).

Soit \(ABCDEFGH\) un parallélépipède rectangle.

1. Montrer que \((AB)\) est strictement parallèle au plan \((EFGH)\).

2. Montrer que les plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\) sont strictement parallèles.

3. Le plan \((ACG)\) coupe les plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\). Déterminer
   leurs droites d’intersection et justifier qu’elles sont parallèles.

4. Deux plans \((P)\) et \((Q)\) se coupent suivant une droite \((\Delta)\).
   Une droite \((d)\) de \((P)\) est parallèle à une droite \((d')\) de \((Q)\).
   Comparer \((\Delta)\) à \((d)\) et à \((d')\).

On considère un cube \(ABCDEFGH\).

1. Montrer que les droites \((DC)\) et \((AE)\) sont orthogonales sans être
   perpendiculaires.

2. Montrer que \((BF)\perp(ABCD)\).

3. En déduire que les plans \((ABFE)\) et \((ABCD)\) sont perpendiculaires.

4. Montrer que \((AE)\perp(EFGH)\).

5. Préciser la position relative des plans \((ABFE)\) et \((DCGH)\).

\(ABCD\) est un tétraèdre. Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs
de \([AC]\), \([AD]\) et \([CD]\).

1. Montrer que les points \(B\), \(C\), \(I\) et \(J\) ne sont pas coplanaires.

2. Déterminer l’intersection des plans \((BDI)\) et \((BCI)\).

3. Montrer que \((IJ)\parallel(CD)\).

4. Les plans \((BIJ)\) et \((BCD)\) se coupent suivant une droite \((\Delta)\).
   Montrer que \((\Delta)\) passe par \(B\) et que \((\Delta)\parallel(CD)\).

5. On suppose que le triangle \(BCD\) est isocèle en \(B\) et que
   \((AK)\perp(BCD)\). Montrer que \((CD)\perp(ABK)\).

Un cube a une arête de longueur \(5\) cm.

1. Calculer son aire latérale et son aire totale.

2. Calculer son volume.

3. L’arête est multipliée par \(3\). Par quel nombre l’aire totale et le
   volume sont ils multipliés ?

Un pavé droit a une base rectangulaire de dimensions \(8\) cm et \(5\) cm, et une
hauteur de \(12\) cm.

4. Calculer son aire latérale et son aire totale.

5. Calculer son volume.

Un prisme droit a une base triangulaire de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm.
La hauteur relative au côté de \(4\) cm mesure \(3\) cm. La hauteur du prisme
mesure \(8\) cm.

1. Calculer l’aire et le périmètre de la base.

2. Calculer l’aire latérale et l’aire totale du prisme.

3. Calculer son volume.

Un réservoir cylindrique a un diamètre intérieur de \(2\) m et une hauteur de
\(3\) m.

1. Calculer son aire latérale et son aire totale.

2. Calculer son volume exact en mètres cubes.

3. Donner une valeur approchée du volume au litre près.

4. Combien de litres contient il lorsqu’il est rempli aux trois quarts ?

Une pyramide a une base carrée de côté \(6\) cm et une hauteur de \(8\) cm.

5. Calculer son volume.

6. Toutes ses longueurs sont multipliées par \(2\). Par quel nombre son
   volume est il multiplié ?