Série de révision N°1 : Calcul numérique, algèbre et puissances

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

1. \(A=\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\)

2. \(B=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}}{1+\dfrac{1}{4}}\)

3. \(C=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{2}}}\)

Développer et réduire au maximum :

1. \(A=(3x-2)^{2}-(2x+1)(2x-1)\)

2. \(B=(2x\sqrt{3}+1)^{2}-(\sqrt{3}x-2)^{2}\)

3. \(C=(x+2)^{3}-x(x+3)^{2}\)

Factoriser complètement les expressions :

1. \(D=4x^{2}-12x+9-(2x-3)(5x+1)\)

2. \(E=(x^{2}-4)+(x-2)(3x+5)\)

3. \(F=x^{3}-4x+2x^{2}-8\)

4. \(G=9(2x-1)^{2}-16(x+3)^{2}\)

Simplifier les écritures :

1. \(a=3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{80}\)

2. \(b=\sqrt{27}\times\sqrt{2}\times\sqrt{6}\)

3. \(c=\sqrt{7+2\sqrt{10}}\times\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)

4. \(d=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)

Défi type olympiade et excellence.

1. Développer \((\sqrt{5}-1)^{2}\).

2. En déduire une écriture simplifiée de :
   \[X=\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}.\]

3. On pose \(Y=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{9+4\sqrt{5}}\).

   1. Déterminer le signe de \(Y\).

   2. Calculer \(Y^{2}\), puis en déduire la valeur exacte de \(Y\).

1. Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
   \[M=0{,}000045\times 10^{7} \qquad\text{et}\qquad N=\dfrac{15\times 10^{-3}\times 16\times 10^{8}}{6\times 10^{2}}.\]

2. Simplifier pour \(a\neq 0\) et \(b\neq 0\) :
   \[P=\dfrac{(a^{2}b^{-3})^{4}\times (a^{-1}b)^{2}}{a^{5}\times b^{-11}}.\]

1. Simplifier pour tout entier \(n\geq 1\) :
   \[K=\dfrac{3^{n+2}-3^{n}}{3^{n+1}+3^{n}}.\]

2. Comparer les deux nombres sans utiliser de calculatrice :
   \[A=4^{30}\quad\text{et}\quad B=8^{20}.\]